Cwestiynau a Thrafodaeth Enghreifftiol: Amrywiant a Gwyriad Safonol Data Sengl
Mae ystadegaeth yn gangen o fathemateg sy'n ymwneud â chasglu, dadansoddi, dehongli, cyflwyno a threfnu data. Dau gysyniad pwysig mewn ystadegaeth yw amrywiant a gwyriad safonol. Bydd yr erthygl hon yn trafod yn fanwl sut i gyfrifo'r amrywiant a'r gwyriad safonol o un set ddata trwy sawl problem enghreifftiol.
Deall Amrywiant a Gwyriad Safonol
Mae amrywiant yn fesur sy'n meintioli pa mor bell mae'r niferoedd mewn set ddata wedi'u gwasgaru o'r cymedr neu'r cyfartaledd. Mynegir amrywiant mewn unedau sgwâr o'r data gwreiddiol, gan ei gwneud hi'n aml yn anodd ei ddehongli.
Gwreiddyn sgwâr yr amrywiant yw'r gwyriad safonol. Mae'n darparu mesur mwy greddfol o ba mor bell y mae'r data yn gyffredinol yn gwyro o'r cymedr oherwydd bod ei unedau yr un fath ag unedau gwreiddiol y data.
Fformiwla Gyffredinol
Ar gyfer data sengl, y fformiwla ar gyfer amrywiant \( \sigma^2 \) a gwyriad safonol \( \sigma \) y boblogaeth yw fel a ganlyn:
1. Amrywiant (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Gwyriad Safonol (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
Ble:
– \( N \) yw nifer y data yn y boblogaeth.
– \( x_i \) yw'r gwerth data i-fed.
– \( \mu \) yw cymedr neu gyfartaledd y data.
Os ydym yn cyfrifo'r amrywiant a'r gwyriad safonol o'r sampl, yna mae'r fformiwla uchod wedi'i haddasu ychydig:
1. Amrywiad Sampl (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2)
2. Gwyriad Safonol Sampl (au):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
Ble:
– \(n \) yw nifer y data yn y sampl.
– \( \bar{x} \) yw cymedr neu gyfartaledd y sampl.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1:
O ystyried y data canlynol:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Cyfrifwch yr amrywiant a'r gwyriad safonol o'r data!
Camau Datrysiad:
1. Cyfrifo'r Cyfartaledd (Cymedr) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Cyfrifwch y Gwahaniaeth Rhwng y Data a'r Cyfartaledd, Yna Sgwariwch:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Adio'r holl ganlyniadau sgwâr:
\[
\swm (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Cyfrifo Amrywiant (σ²) Data Poblogaeth:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Nodyn: Gan fod y data hwn wedi'i nodi fel data poblogaeth, rydym yn rhannu â 6.
5. Cyfrifo Gwyriad Safonol (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \tua 1.886
\]
Felly, amrywiant y data yw 3.559 a'r gwyriad safonol yw 1.886.
Cwestiwn Enghraifft 2:
O ystyried y data sampl canlynol:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Cyfrifwch yr amrywiant a'r gwyriad safonol o'r sampl!
Camau Datrysiad:
1. Cyfrifo'r Cyfartaledd (Cymedr) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Cyfrifwch y Gwahaniaeth Rhwng y Data a'r Cyfartaledd, Yna Sgwariwch:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Adio'r holl ganlyniadau sgwâr:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Cyfrifo'r Amrywiad Sampl (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nodyn: Gan mai data sampl yw hwn, rydym yn rhannu â 5 (n-1).
5. Cyfrifo Gwyriad Safonol (au):
\[
s = \sqrt{5.351} \tua 2.313
\]
Felly, amrywiant y data sampl yw 5.351 a'r gwyriad safonol yw 2.313.
Casgliad
Mae cyfrifo amrywiant a gwyriad safonol yn hanfodol er mwyn deall pa mor wasgaredig yw data o fewn set benodol. Er bod amrywiant yn darparu mesur damcaniaethol o wasgariad mewn sgwariau o'r unedau gwreiddiol, mae gwyriad safonol yn dehongli'r mesur o wasgariad o ran unedau gwreiddiol y data, gan ei gwneud hi'n haws ei ddeall. Wrth ddadansoddi data, defnyddir y ddau fesur hyn yn aml i asesu amrywioldeb data a gwneud penderfyniadau ystadegol.
Drwy ddeall y camau a'r fformwlâu angenrheidiol, gallwn gyfrifo amrywiant a gwyriad safonol yn hawdd ar gyfer gwahanol sefyllfaoedd a wynebwn wrth gasglu a dadansoddi data bob dydd. Gobeithio bod yr erthygl hon yn rhoi dealltwriaeth ddyfnach o gysyniadau amrywiant a gwyriad safonol mewn setiau data sengl.
