Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Ddeilliadau Ffwythiannau
Mae'r deilliad yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws sy'n chwarae rhan hanfodol mewn amrywiol gymwysiadau mathemateg, ffiseg, peirianneg a gwyddorau eraill. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl enghraifft o ddeilliadau a'u datrysiadau. Bydd deall cysyniad y deilliad yn ei gwneud hi'n haws ei gymhwyso i wahanol broblemau.
Dealltwriaeth Sylfaenol o Ddeilliadau
Mae deilliad ffwythiant yn disgrifio cyfradd newid y ffwythiant mewn perthynas â'r newidyn annibynnol. Yn reddfol, deilliad y ffwythiant \(f(x) \) yn y pwynt \(x \) yw llethr y llinell tangiad i'r gromlin \(f \) yn y pwynt \(x \). Y nodiant cyffredin a ddefnyddir ar gyfer y deilliad yw \(f'(x) \) neu \( \frac{df}{dx} \).
Rheolau Sylfaenol Deilliadau
I ddatrys problemau deilliadau, mae angen i ni wybod rhai rheolau sylfaenol ar gyfer deilliadau:
1. Deilliad Cyson: Os yw \(c \) yn gyson, yna mae deilliad \(c \) yn sero.
\[
\frac{d}{dx}(c) = 0
\]
2. Deilliad o'r Ffwythiant Llinol: Os yw \(f(x) = mx + b \), lle mae \(m \) a \(b \) yn gysonion, yna:
\[
f'(x) = m
\]
3. Rheol y Pŵer: Os yw \( f(x) = x^n \), lle mae \( n \) yn rhif real, yna:
\[
f'(x) = nx^{n-1}
\]
4. Rheol Swm: Os \( f(x) = g(x) + h(x) \), yna:
\[
f'(x) = g'(x) + h'(x)
\]
5. Rheol Lluosi: Os yw \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \), yna:
\[
f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
\]
6. Rheol Rhannu: Os \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), yna:
\[
f'(x) = \frac{g'(x)h(x) – g(x)h'(x)}{h(x)^2}
\]
7. Rheol y Gadwyn: Os \( f(x) = g(h(x)) \), yna:
\[
f'(x) = g'(h(x)) ∫h'(x)
\]
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn: Penderfynwch ddeilliad \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \).
Trafodaeth:
I bennu deilliad y ffwythiant, byddwn yn defnyddio'r rheol pŵer a'r rheol swm.
\[
f(x) = 3x^2 + 2x + 1
\]
Y deilliadau yw:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)
\]
Yn seiliedig ar y rheol rheng:
\[
\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot 1x^{1-1} = 2
\]
\[
\frac{d}{dx}(1) = 0
\]
Felly, deilliad y ffwythiant \(f \) yw:
\[
f'(x) = 6x + 2
\]
Cwestiwn Enghraifft 2
Cwestiwn: Pennwch ddeilliad y ffwythiant \( g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3) \).
Trafodaeth:
I ddatrys y broblem hon, byddwn yn defnyddio'r rheol lluosi.
\[
g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3)
\]
Felly, deilliad \( g(x) \) yw:
\[
g'(x) = (2x^3 – x)'(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(x^2 + 3)'
\]
Yn gyntaf, rydym yn pennu deilliad pob swyddogaeth:
\[
(2x^3 – x)' = 6x^2 – 1
\]
\[
(x^2 + 3)' = 2x
\]
Yna rydym yn ei amnewid yn y fformiwla:
\[
g'(x) = (6x^2 – 1)(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(2x)
\]
Nesaf, rydym yn dosbarthu:
\[
g'(x) = 6x^2 ⋅ x^2 + 6x^2 ⋅ 3 – 1 ⋅ x^2 – 1 ⋅ 3 + 2x^3 ⋅ 2x – x ⋅ 2x
\]
\[
g'(x) = 6x^4 + 18x^2 – x^2 – 3 + 4x^4 – 2x^2
\]
Yn olaf, cawn:
\[
g'(x) = 10x^4 + 15x^2 – 3
\]
Cwestiwn Enghraifft 3
Cwestiwn: Dewch o hyd i ddeilliad \( h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1} \).
Trafodaeth:
I ddatrys y broblem hon, byddwn yn defnyddio'r rheol rhannu.
\[
h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1}
\]
Felly, deilliad \( h(x) \) yw:
\[
h'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x – 1) – (x^2 + 1)(x – 1)'}{(x – 1)^2}
\]
Yn gyntaf, rydym yn pennu deilliad pob swyddogaeth:
\[
(x^2 + 1)' = 2x
\]
\[
(x – 1)' = 1
\]
Yna rydym yn ei amnewid yn y fformiwla:
\[
h'(x) = \frac{2x(x – 1) – (x^2 + 1)(1)}{(x – 1)^2}
\]
Nesaf, rydym yn dosbarthu:
\[
h'(x) = \frac{2x^2 – 2x – x^2 – 1}{(x – 1)^2}
\]
Yna rydym yn symleiddio:
\[
h'(x) = \frac{x^2 – 2x – 1}{(x – 1)^2}
\]
Casgliad
Mae deilliad ffwythiant yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws sy'n darparu gwybodaeth am gyfradd newid gwerth ffwythiant mewn perthynas â'i newidyn annibynnol. Drwy ddeall rheolau sylfaenol deillio, fel deilliad cysonyn, ffwythiannau llinol, y rheol pŵer, swm, lluosi a rhannu, a'r rheol gadwyn, gallwn ddatrys amrywiol broblemau deilliad.
Mae'r problemau enghreifftiol a drafodwyd uchod yn gam cyntaf da wrth ddeall sut i gymhwyso'r cysyniad o ddeilliadau. Yn ymarferol, bydd sgiliau wrth gyfrifo deilliadau yn cael eu mireinio ymhellach trwy weithio gyda gwahanol fathau o broblemau ac amrywiadau o ffwythiannau. Gobeithio bod yr erthygl hon wedi bod o gymorth i ddeall a meistroli cysyniad deilliad ffwythiant.
