Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Berthnasedd Einstein
Mae perthnasedd Einstein yn un o'r damcaniaethau mwyaf sylfaenol mewn ffiseg fodern, gan newid y ffordd rydym yn deall gofod ac amser. Mae'n cynnwys dwy ran: perthnasedd arbennig (1905) a pherthnasedd cyffredinol (1915). Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl enghraifft sy'n cynnwys perthnasedd Einstein ac yn eu trafod i ddarparu dealltwriaeth ddyfnach.
Perthnasedd Arbennig
Mae perthnasedd arbennig yn ymdrin â gwrthrychau sy'n symud ar gyflymder cyson sy'n agosáu at gyflymder golau. Dau ganlyniad allweddol y ddamcaniaeth hon yw ymlediad amser a chrebachiad hyd.
1. Ymlediad Amser
Os oes dau arsylwr, un yn llonydd ar y Ddaear ac un yn symud ar gyflymder uchel, byddant yn mesur amseroedd gwahanol ar gyfer yr un digwyddiad.
Enghraifft o broblemau:
Mae gofodwr yn symud ar 0.8 gwaith cyflymder golau (c) tuag at seren sydd 10 mlynedd golau o'r Ddaear. Pa mor hir mae'n ei gymryd i'r gofodwr gyrraedd y seren?
Trafodaeth:
Yn gyntaf, rydym yn cyfrifo'r amser a fesurir gan arsylwr ar y Ddaear:
[t_B = \frac{d}{v} = \frac{10 \text{ blynyddoedd golau}}{0.8 \, c} = 12.5 \text{ blynyddoedd} \]
I gyfrifo'r amser a fesurwyd gan y gofodwr (ymlediad amser), rydym yn defnyddio'r fformiwla:
\[ t_A = t_B \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
Amnewid gwerthoedd hysbys:
\[ t_A = 12.5 \sqrt{1 – (0.8)^2} \]
\[ t_A = 12.5 \sqrt{1 – 0.64} \]
\[ t_A = 12.5 \sqrt{0.36} \]
\[ t_A = 12.5 \times 0.6 \]
\[ t_A = 7.5 \text{ blynyddoedd} \]
Felly, yr amser a fesurwyd gan y gofodwyr oedd 7.5 mlynedd.
2. Cyfangiadau Hir
Pan fydd gwrthrych yn symud ar gyflymder sy'n agosáu at gyflymder golau, bydd ei hyd yn ymddangos yn fyrrach i arsylwr llonydd.
Enghraifft o broblemau:
Mae llong ofod gyda hyd gwirioneddol o 10 metr yn teithio ar 0.9 gwaith cyflymder golau. Pa mor hir fyddai'r llong ofod i arsylwr ar y Ddaear?
Trafodaeth:
I gyfrifo crebachiad hyd, rydym yn defnyddio'r fformiwla:
\[ L = L_0 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
Ble:
– \( L_0 \) yw'r hyd cywir neu'r hyd gwirioneddol (10 metr),
– \(v \) yw cyflymder yr awyren (0.9c).
Amnewid gwerthoedd hysbys:
\[ L = 10 \sqrt{1 – (0.9)^2} \]
\[ L = 10 \sqrt{1 – 0.81} \]
\[ L = 10 \sqrt{0.19} \]
\[ L = 10 \times 0.436 \]
\[ L = 4.36 \text{ metrau} \]
Felly, hyd yr awyren yn ôl arsylwyr ar y Ddaear yw 4.36 metr.
Perthnasedd Cyffredinol
Mae perthnasedd cyffredinol yn trafod disgyrchiant, lle mae gofod ac amser yn cael eu dylanwadu gan fàs ac egni.
3. Lens Disgyrchiant
Mae lensio disgyrchiant yn digwydd pan fydd golau o wrthrych pell yn cael ei blygu gan ddisgyrchiant gwrthrych enfawr fel galaeth neu dwll du.
Enghraifft o broblemau:
Mae gan Alaeth A ddigon o fàs i wyro golau o gwasar B, sydd y tu ôl iddi. Os yw'r ongl wyro yn 1.5 eiliad arc, beth yw màs galaeth A? (Defnyddiwch gysonyn disgyrchiant Newton G = 6.674 × 10^-11 N(m/kg)^2, cyflymder golau c = 3 × 10^8 m/s)
Trafodaeth:
Gellir rhoi ongl y gwyriad θ gan y fformiwla:
\[ \theta = \frac{4GM}{c^2 R} \]
Ble:
– \(G \) yw'r cysonyn disgyrchiant,
– \( M \) yw màs y galaeth,
– \(c \) yw cyflymder golau,
– \( R \) yw'r pellter agosaf rhwng golau a chanol y galaeth.
Gan ein bod ni eisiau dod o hyd i M, rydym ni'n aildrefnu'r fformiwla:
\[ M = \frac{\theta c^2 R}{4G} \]
Tybiwch fod R yn 5×10^20 metr (pellter cyfartalog galaethau). Troswch θ o arceiliadau i radianau (1 arceiliad = 4.848×10^-6 radianau):
[theta = 1.5 × 4.848 × 10⁻⁶, radian = 7.272 × 10⁻⁶, radian]
Amnewid gwerthoedd hysbys:
[M = \frac{(7.272 × 10^{-6}) (3 × 10^8)^2 (5 × 10^{20})}{4 × 6.674 × 10^{-11}}]
[M = (7.272 × 10⁻⁶) (9 × 10⁻⁶) (5 × 10⁻⁶)/26.696 × 10⁻⁶]
\[ M = \frac{(3.2764 \times 10^{31})}{26.696 \times 10^{-11}} \]
\[ M = 1.227 \times 10^{41} \, \text{kg} \]
Felly, mae màs galaeth A tua 1.227 × 10^41 cilogram.
4. Precessiwn Perihelion Mercher
Gall perthnasedd cyffredinol hefyd esbonio precessiwn orbit y blaned Mercher na ellir ei esbonio gan fecaneg Newton.
Enghraifft o broblemau:
Beth yw maint sifftiad perihelion Mercher fel yr eglurir gan berthnasedd cyffredinol? (Paramedr perthynas A: 43 eiliad arc y ganrif)
Trafodaeth:
Defnyddiwch y data a ddarperir yn uniongyrchol:
Yn ôl damcaniaeth gyffredinol perthnasedd Einstein, y sifftiad perihelion a ddisgrifir o Mercher yw 43 eiliad arc y ganrif, sydd hefyd yn unol â chanlyniadau'r arsylwadau.
Cesimpulan:
Drwy gwblhau'r problemau enghreifftiol a'r trafodaethau hyn, gallwn weld sut mae perthnasedd Einstein yn darparu dealltwriaeth ddyfnach o amser, hyd a disgyrchiant. Nid yn unig y trawsnewidiodd y ddamcaniaeth hon ein barn wyddonol o'r bydysawd ond mae ganddi hefyd gymwysiadau ymarferol mewn technoleg fodern, megis systemau llywio GPS, sydd angen cywiriadau perthnasedd i weithredu'n gywir. Mae dysgu a deall perthnasedd Einstein yn gam pwysig wrth ymchwilio'n ddyfnach i fyd cymhleth ffiseg.
