Cwestiynau a Thrafodaeth Enghreifftiol Atchweliad Llinol
Mae atchweliad llinol yn ddull ystadegol a ddefnyddir i bennu'r berthynas rhwng dau newidyn neu fwy. Defnyddir y dull hwn yn helaeth mewn amrywiol feysydd, gan gynnwys economeg, busnes, gwyddorau cymdeithasol, a'r gwyddorau naturiol. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod atchweliad llinol, sut i'w gyfrifo, a darparu sawl problem enghreifftiol gydag esboniadau i helpu darllenwyr i ddeall y cysyniad hwn yn fanwl.
Deall Atchweliad Llinol
Mae atchweliad llinol yn ddull dadansoddol a ddefnyddir i fodelu'r berthynas rhwng un neu fwy o newidynnau annibynnol (rhagfynegwyr) a newidyn dibynnol (ymateb). Mae atchweliad llinol syml yn cynnwys un newidyn annibynnol ac un newidyn dibynnol, tra bod atchweliad llinol lluosog yn cynnwys mwy nag un newidyn annibynnol.
Hafaliad llinell atchweliad llinol syml yw:
\[ Y = a + bX \]
Ble:
– \(Y \) yw'r newidyn dibynnol.
– \( X \) yw'r newidyn annibynnol.
– \( a \) yw'r rhyngdoriad, sef gwerth Y pan fydd X = 0.
– \( b \) yw'r cyfernod atchweliad, hynny yw, faint mae Y yn newid os yw X yn newid o un uned.
Camau Atchweliad Llinol
1. Casglu Data: Yn gyntaf, casglwch y data i'w ddadansoddi.
2. Plotio Data: Crëwch blot gwasgariad i weld a oes perthynas linellol rhwng y newidynnau.
3. Cyfrifwch y Cyfernod Atchweliad: Defnyddiwch y dull sgwariau lleiaf i benderfynu ar y llinell orau.
4. Profi'r Model: Profwch arwyddocâd y cyfernodau atchweliad gyda phrawf-t a phennwch y gwerth R-sgwâr i weld pa mor dda y mae'r model yn ffitio'r data.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1: Atchweliad Llinol Syml
Cwestiwn:
Mae ymchwilydd eisiau gwybod y berthynas rhwng nifer yr oriau astudio (X) a sgoriau arholiad myfyrwyr (Y). Dyma'r data a gafwyd:
| Oriau Astudio (X) | Sgôr Arholiad (Y) |
|——————–|——————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |
Gwnewch hafaliad atchweliad llinol o'r data hwn!
Trafodaeth:
1. Cyfrifo'r Cyfartaledd:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\bar{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. Cyfrifo'r Cyfernod Atchweliad \( b \):
\[
b = \frac{\sum(X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum(X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
∫(X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
\sum(X_i – \bar{X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \tua 3.08
\]
3. Cyfrifo'r Rhyngdoriad \( a \):
\[
a = \bar{Y} – b\bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 \times 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Hafaliad Atchweliad:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]
Felly, yr hafaliad atchweliad llinol ar gyfer y data yw \( Y = 64.6 + 3.08X \). Mae hyn yn golygu bod disgwyl i bob awr ychwanegol o astudio gynyddu sgôr y prawf 3.08 pwynt.
Cwestiwn Enghraifft 2: Prawf Model a Dehongliad
Cwestiwn:
Gan barhau gyda'r un data, cyfrifwch y gwerth R-sgwâr (R²) i fesur pa mor dda y mae'r model yn ffitio'r data. Hefyd, profwch arwyddocâd y cyfernod atchweliad \(b \).
Trafodaeth:
1. Cyfrifwch Cyfanswm Swm y Sgwariau (SST), Swm Atchweliad y Sgwariau (SSR), a Swm Gwall y Sgwariau (SSE):
\[
SST = \sum(Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
SSR = \sum(\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
Lle mae \( \hat{Y}_i \) yn werth rhagfynegol yr hafaliad atchweliad:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\hat{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
\bar{Y} = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. Cyfrifo SSE:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. Cyfrifo R-sgwâr:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \tua 0.6
\]
Mae gwerth R-sgwâr o 0.6 yn dangos bod y model hwn yn egluro tua 60% o'r amrywiad yn y data. Mae hyn yn dangos bod y llinell atchweliad yn ffitio'r data yn eithaf da.
4. Prawf-t ar gyfer Arwyddocâd Cyfernod \( b \):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} / \sqrt{\sum(X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = 33.4 / 26 tua 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \tua 2.73
\]
Gyda \( ystadegyn-t \approx 2.73 \), os ydym yn defnyddio trothwy cyffredin ar gyfer arwyddocâd (α = 0.05), rydym yn ei gymharu â'r tabl-t. Er enghraifft, ar gyfer \( df = 3 \), mae'r \( t \) critigol tua 2.353. Yna \( t-arsylwedig > t-critigol \), sy'n dangos bod y cyfernod yn arwyddocaol.
Casgliad
Yn yr erthygl hon, rydym wedi trafod hanfodion atchweliad llinol, sut i gyfrifo'r cyfernod atchweliad a'r rhyngdoriad, a sut i ddehongli'r canlyniadau gan ddefnyddio problemau enghreifftiol. Mae ymarfer yn aml gyda gwahanol setiau data yn hanfodol i ddod yn hyfedr wrth ddefnyddio'r dull hwn. Mae atchweliad llinol yn offeryn gwerthfawr wrth ddadansoddi data a gall roi cipolwg dwfn ar y berthnasoedd rhwng newidynnau.
