Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Gymhwyso Integralau wrth Gyfrifo Arwynebedd Plân Gwastad
Wrth addysgu mathemateg, mae integrynnau'n aml yn cael eu gweld mewn calcwlws. Un o'r cymwysiadau mwyaf adnabyddus o integrynnau yw cyfrifo'r arwynebedd o dan gromlin neu blân. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol ac yn trafod cymhwysiad integrynnau i gyfrifo arwynebedd plân.
Cyflwyniad i Ddamcaniaeth
Cyn symud ymlaen at y broblem enghreifftiol, gadewch i ni adolygu'r cysyniad sylfaenol o gyfrifo'r arwynebedd o dan gromlin gan ddefnyddio integrynnau. Os oes gennym ffwythiant f(x) sy'n barhaus ar y cyfwng [a, b], yna'r arwynebedd o dan y gromlin y = f(x) o x = a i x = b yw:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Yn geometregol, mae hyn yn golygu ein bod yn crynhoi arwynebedd petryal tenau iawn o x = a i x = b.
Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn
Cyfrifwch yr arwynebedd o dan y gromlin y = x² yn y cyfwng [1, 3].
Trafodaeth
I gyfrifo'r arwynebedd, rydym yn defnyddio'r integryn:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Rydym yn dechrau drwy ddod o hyd i wrth-ddeilliad \( x^2 \). Gwrth-ddeilliad \( x^2 \) yw \( \frac{x^3}{3} \). Yna mae'r integryn yn dod yn:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Cofiwch fod yn rhaid i ni werthuso'r gwrth-ddeilliad ar derfynau'r integryn:
[L = (3^3}{3) – (1^3}{3)]
[L = (\frac{27}{3} \right) – (\frac{1}{3} \right)]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Felly, yr arwynebedd o dan y gromlin y = x² o x = 1 i x = 3 yw:
\[ \frac{26}{3} \, \text{uned arwynebedd} \]
Cwestiwn Enghraifft 2
Cwestiwn
Pennwch arwynebedd y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan y gromlin y = x³ a'r llinellau x = 1 ac x = 2.
Trafodaeth
I gyfrifo'r arwynebedd, rydym yn defnyddio'r integryn:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Fel arfer, rydym yn dechrau trwy ddod o hyd i wrth-ddeilliad \( x^3 \). Gwrth-ddeilliad \( x^3 \) yw \( \frac{x^4}{4} \). Daw'r integryn yn:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Gwerthuswch derfynau'r integryn:
[L = (2^4}{4) – (1^4}{4)]
[L = (\frac{16}{4} \right) – (\frac{1}{4} \right)]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Felly, yr arwynebedd o dan y gromlin y = x³ o x = 1 i x = 2 yw:
\[ \frac{15}{4} \, \text{uned arwynebedd} \]
Cwestiwn Enghraifft 3
Cwestiwn
Pennwch arwynebedd y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan y cromliniau y = x² + 1 ac y = 2x + 2 yn y cyfwng x = 0 i x = 1.
Trafodaeth
Yn gyntaf, mae angen i ni ddod o hyd i'r pwyntiau croestoriad i bennu terfynau'r integreiddio. Yr ateb i \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Gan ddefnyddio'r fformiwla cwadratig:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Fodd bynnag, ar gyfer y terfynau uchaf ac isaf rhwng 0 ac 1, nid oes angen i ni ddefnyddio'r ateb cwadratig, dim ond y terfyn integrol cyffredin o 0 i 1. Nesaf, cyfrifwch arwynebedd y gromlin y uchaf minws y gromlin y gwaelod yn ôl y terfynau hyn:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Symleiddio swyddogaeth:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Nesaf, rydym yn dod o hyd i'r gwrth-ddeilliad:
Gwrth-ddeilliad \( (-x^2) \) yw \( -\frac{x^3}{3} \),
Gwrth-ddeilliad \( (2x) \) yw \( x^2 \),
Gwrth-ddeilliad \( (1) \) yw \( x \).
Felly hynny,
[L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Gwerthusiad nesaf:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[-\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Felly, arwynebedd y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan y cromliniau y = x² + 1 ac y = 2x + 2 ar y cyfwng [0, 1] yw:
\[ \frac{5}{3} \, \text{uned arwynebedd} \]
-
O'r enghreifftiau uchod, gallwn weld sut y gellir defnyddio integrynnau i gyfrifo'r arwynebedd o dan gromlin neu rhwng dwy gromlin. Gyda dealltwriaeth briodol o gysyniadau sylfaenol integrynnau a thechnegau gwrth-ddeilliadol, mae cyfrifo'r arwynebeddau hyn yn dod yn systematig ac effeithlon iawn. Gobeithio bod yr erthygl hon wedi cynyddu ein dealltwriaeth o gymhwyso integrynnau yn y byd go iawn, yn enwedig ym maes mesur arwynebedd arwynebau gwastad.
