Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Cymhwyso Integralau mewn Ffiseg
Mae defnyddio integrynnau mewn ffiseg yn gysyniad pwysig ac eang iawn. Mae cymhwyso integrynnau yn caniatáu i ffisegwyr a pheirianwyr gyfrifo amrywiaeth o ffenomenau naturiol cymhleth, boed yn gysylltiedig â symudiad, egni, grym, neu agweddau eraill. Bydd yr erthygl hon yn archwilio sawl problem enghreifftiol ac yn trafod cymhwyso integrynnau mewn ffiseg.
1. Cyfrifo Gwaith yn ôl Grym Newidiol
Cwestiwn
Rhoddir grym sy'n amrywio gyda safle \(x\) gan \( F(x) = 3x^2 \). Cyfrifwch y gwaith a wneir gan y grym hwn pan fydd y gwrthrych yn symud o \(x = 0\) i \(x = 2 \) metr.
Trafodaeth
Y gwaith a wneir gan rym sy'n newid yw integryn y grym mewn perthynas â'r pellter. Os rhoddir y grym \( F(x) \) fel ffwythiant o'r safle \(x \), gallwn fynegi'r gwaith fel:
[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Yn yr achos hwn:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{metr} \]
\[ b = 2 \, \text{metr} \]
Yna'r gwaith \(W\) yw:
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Rydym yn cyfrifo'r integryn hwn:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 \left( \frac{8}{3} – 0 \right)
= 8 \, \text{Joule}
\]
Felly, y gwaith a wneir gan y grym yw 8 Joule.
2. Cyfrifo Canol Màs Gwialen Homogenaidd
Cwestiwn
Mae gwialen homogenaidd gyda hyd \(L\) wedi'i lleoli ar yr echelin-x o \( x = 0 \) i \( x = L \). Cyfrifwch safle canol màs y wialen.
Trafodaeth
Ar gyfer gwialen homogenaidd, mae'r màs wedi'i ddosbarthu'n unffurf ar hyd ei hyd. Gallwn dybio bod gan y wialen fàs llinol cyson \(\lambda\) (màs fesul uned hyd).
Rhoddir canol y màs (\(x_{cm}\)) gan:
[x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Gan fod y màs wedi'i ddosbarthu'n homogenaidd, gallwn fynegi \(dm = \lambda \, dx\), a'r integryn ffin o \(x = 0\) i \(x = L\):
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
Mae integreiddio dros \(\lambda\) yn gyson a gellir ei ddadwneud:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Felly, mae safle canol màs y wialen yn \( \frac{L}{2} \), neu yng nghanol y wialen.
3. Cyfrifo Grym Electrostatig yn Seiliedig ar Gyfraith Coulomb
Cwestiwn
Mae dau wefr \(q_1\) a \(q_2\) wedi'u lleoli ar hyd yr echelin-x yn \(x = 0\) ac \(x = L\) yn y drefn honno. Cyfrifwch y grym electrostatig rhwng y ddau wefr.
Trafodaeth
Mae cyfraith Coulomb yn nodi bod y grym rhwng dau wefr bwynt yn gymesur yn uniongyrchol â lluoswm y gwefrau ac yn gymesur yn wrthdro â sgwâr y pellter rhyngddynt:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Ble:
– \(k_e\) yw cysonyn Coulomb \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) yw'r pellter rhwng y gwefrau
Yn yr achos hwn, mae \(q_1\) a \(q_2\) yn gorwedd yn \(x = 0\) ac \(x = L\), yna'r pellter \(r = L\).
Grym electrostatig yw:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Mae hwn yn ddatrysiad cyffredin ar gyfer cyfrifo'r grym electrostatig rhwng dau wefr bwynt sydd wedi'u gosod ar bellter penodol.
4. Cyfrifo Fflwcs Magnetig
Cwestiwn
Mae dolen wifren gylchol o radiws r wedi'i gosod mewn maes magnetig unffurf B, sy'n berpendicwlar i blân y ddolen. Cyfrifwch y fflwcs magnetig trwy'r ddolen.
Trafodaeth
Rhoddir y fflwcs magnetig (\(\Phi_B\)) trwy ardal \(A\) mewn maes magnetig \(B\) gan:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Gan fod y maes magnetig \(B\) yn unffurf ac yn berpendicwlar i blân y ddolen, mae'r integryn syml yn dod yn:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Lle mae arwynebedd \(A\) cylch â radiws \(r\) yn:
[A = π r^2]
Yna'r fflwcs magnetig drwy'r ddolen yw:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Felly, y fflwcs magnetig drwy'r ddolen yw (B \pir^2 \).
Casgliad
Mae defnyddio integrelau mewn ffiseg yn anochel pan fydd yn rhaid i ni gyfrifo gwybodaeth sy'n gysylltiedig â ffenomenau naturiol cymhleth. O gyfrifo'r gwaith a wneir gan rym amrywiol, pennu canol màs gwrthrych, cyfrifo grymoedd electrostatig yn seiliedig ar gyfraith Coulomb, i gyfrifo'r fflwcs magnetig trwy ddolen o wifren mewn maes magnetig, mae pob un yn dibynnu ar integrelau i ddatrys problemau. Mae dealltwriaeth drylwyr o sut mae integrelau'n gweithio mewn gwahanol gyd-destunau ffiseg nid yn unig yn symleiddio datrys problemau ond hefyd yn rhoi cipolwg dyfnach ar fecaneg y bydysawd ar y lefel foleciwlaidd a'r lefel galaethol.
