Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Defnyddio Cymharebau Trigonometreg
Mae trigonometreg yn gangen o fathemateg sy'n astudio'r berthnasoedd rhwng ochrau ac onglau trionglau. Mae deall trigonometreg yn hanfodol oherwydd ei bod yn cael ei defnyddio'n aml mewn amrywiol feysydd, gan gynnwys pensaernïaeth, peirianneg, seryddiaeth, a hyd yn oed cryptograffeg. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol ac yn eu trafod yng nghyd-destun defnyddio cymharebau trigonometreg.
Cysyniadau Sylfaenol Trigonometreg
Cyn i ni fynd i mewn i'r problemau enghreifftiol, gadewch i ni adolygu rhai cysyniadau sylfaenol mewn trigonometreg. Mewn triongl sgwâr, mae tair prif swyddogaeth trigonometreg a ddefnyddir yn aml: sin, cosin, a thangiad.
– Sin (peid) ongl yw cymhareb hyd yr ochr gyferbyn â'r ongl i hyd yr hypotenws.
\[
\sin \theta = \frac{\text{ochr flaen}}{\text{hypotenws}}
\]
– Cosin (cos) ongl yw cymhareb hyd yr ochr sy'n gyfagos i'r ongl i hyd yr hypotenws.
\[
\cos \theta = \frac{\text{ochr gyfagos}}{\text{hypotenws}}
\]
– Tangiad (tan) ongl yw cymhareb hyd yr ochr gyferbyn â'r ongl i hyd yr ochr sy'n gyfagos i'r ongl.
\[
\tan \theta = \frac{\text{ochr flaen}}{\text{ochr ochr}}
\]
Cwestiwn Enghraifft 1: Cyfrifo Uchder y Tŵr
Cwestiwn: Mae arsylwr yn sefyll 50 metr o dŵr ac yn mesur ongl codiad brig y tŵr i fod yn 30 gradd. Penderfynwch uchder y tŵr.
Datrysiad: I ddatrys y broblem hon, gallwn ddefnyddio'r ffwythiant tangiad mewn trigonometreg. Gan ein bod yn gwybod ongl yr uchder a'r pellter llorweddol o'r arsylwr i'r tŵr, gallwn ysgrifennu:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{uchder y tŵr}}{\text{pellter llorweddol}}
\]
Amnewidiwch y gwerthoedd hysbys:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Gwyddys bod \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), felly:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Yna gellir canfod uchder y tŵr, \(h\), trwy luosi dwy ochr yr hafaliad â 50:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 \, \text{metr}
\]
Mae uchder y tŵr tua 28.87 metr.
Cwestiwn Enghraifft 2: Pennu Pellter Gan Ddefnyddio Cosin
Cwestiwn: Mae llong yn anelu 10 km i'r dwyrain, yna'n newid cwrs 60 gradd i'r gogledd ac yn hwylio 15 km. Pennwch y pellter o'r man cychwyn i'r llong.
Trafodaeth: I ddatrys y broblem hon, gallwn ddefnyddio'r rheol cosin mewn trigonometreg. Os ydym yn plotio taith y llong mewn system gyfesurynnau, rydym yn dod o hyd i driongl gydag ochrau o 10 km a 15 km, ac ongl o 60 gradd. Gallwn ddefnyddio'r rheol cosin i ddod o hyd i'r pellter rhwng man cychwyn y llong a'i safle terfynol.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Ble:
– \(a = 10 \)
– \(b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Amnewidiwch y gwerthoedd hysbys:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ cos 60^⋅
\]
Rydyn ni'n gwybod bod \(\cos 60^\circ = 0.5\), yna:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \tua 13.23 \, \text{km}
\]
Felly mae'r pellter o'r man cychwyn i'r llong tua 13.23 km.
Cwestiwn Enghraifft 3: Defnyddio Sin i Bennu Ochrau Triongl
Cwestiwn: Mewn triongl, mae dau ochr yn 7 cm a 10 cm, gydag ongl rhyngddynt o 45 gradd. Cyfrifwch hyd trydydd ochr y triongl.
Trafodaeth: Gallwn ddefnyddio cyfraith y sinau i ddatrys y broblem hon. Yng nghyfraith y sinau, ar gyfer triongl gydag ochrau _(a), _(b), a _(c) ac ongl _(C) rhwng ochrau _(a) a _(b):
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Fodd bynnag, yn yr achos hwn, gallwn ddefnyddio cyfraith y cosinau yn uniongyrchol i wneud pethau'n haws. Mae cyfraith y cosinau yn nodi:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Ble:
– \(a = 7 \)
– \(b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), fel bod:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
Cyfrifo gwerth \(c \):
\[
c \tua \sqrt{149 – 70 \sqrt{2}} \tua 5.97 \, \text{cm}
\]
Felly, mae hyd trydydd ochr y triongl tua 5.97 cm.
Casgliad
Mae trigonometreg yn offeryn defnyddiol iawn ar gyfer datrys amrywiol broblemau sy'n cynnwys trionglau ac onglau. Gyda dealltwriaeth dda o sin, cosin, tangiad, a deddfau trigonometreg, gallwn ddatrys llawer o broblemau ymarferol. Mae'r erthygl hon yn trafod sawl enghraifft o ddefnyddio cymhareb trigonometreg, a gobeithio y bydd hyn yn helpu darllenwyr i ddatblygu eu dealltwriaeth.
