Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Ddirywiad Esbonyddol
Mae dirywiad esbonyddol yn ffenomen naturiol a geir mewn amrywiol ddisgyblaethau fel ffiseg, cemeg, bioleg ac economeg. Fel model mathemategol, mae dirywiad esbonyddol yn disgrifio'r broses lle mae maint penodol yn lleihau'n gymesur â'i faint cyfredol. Mewn mathemateg, mae dirywiad esbonyddol yn dilyn y ffurf gyffredinol:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Ble:
– \( N(t) \) yw'r swm sy'n weddill ar amser \( t \),
– \( N_0 \) yw'r rhif cychwynnol,
– \( \lambda \) yw'r cysonyn dadfeiliad (a elwir yn aml yn gyfradd dadfeiliad),
– \(t \) yw amser,
– \( e \) yw sylfaen y logarithm naturiol (tua 2.718).
Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod rhai enghreifftiau o broblemau dadfeiliad esbonyddol ynghyd â'u hatebion i helpu i ddeall y cysyniad hwn yn ddyfnach.
Cwestiwn Enghraifft 1: Pydredd Ymbelydrol
Cwestiwn:
Mae gan sylwedd ymbelydrol hanner oes o 5 mlynedd. Os oedd 100 gram o'r sylwedd i ddechrau, faint fyddai ar ôl ar ôl 15 mlynedd?
Trafodaeth:
Gellir modelu pydredd ymbelydrol gan ddefnyddio'r fformiwla pydredd esbonyddol. Yr hanner oes (\(t_{1/2} \)) yw'r amser sydd ei angen i hanner y swm o ddeunydd ymbelydrol bydru. Gwyddys bod \(t_{1/2} = 5 \) mlynedd.
Yn gyntaf mae angen i ni ddod o hyd i'r cysonyn dadfeiliad \( \lambda \) gyda'r fformiwla:
\[ \lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln2}{5} \approx 0.1386 \text{ blwyddyn}^{-1} \]
Felly, y fformiwla dirywiad esbonyddol yw:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \times 15} \]
Nawr, rydym yn cyfrifo'r gwerth:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 \times 0.125 \]
\[ N(t) \tua 12.5 \text{ gramau} \]
Felly, ar ôl 15 mlynedd, mae tua 12.5 gram o ddeunydd ymbelydrol yn weddill.
Enghraifft 2: Pydredd Cynhwysydd
Cwestiwn:
Caniateir i gynhwysydd gyda gwefr gychwynnol (Q_0 = 200 C) ollwng mewn cylched. Y cysonyn amser yw (tau = 4 s). Faint o wefr sy'n weddill ar ôl 10 eiliad?
Trafodaeth:
Yn achos dadfeiliad gwefr cynhwysydd, y model esbonyddol a ddefnyddir yw:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
O ystyried (Q_0 = 200 C) a (tau = 4 s). Mae angen i ni ddod o hyd i (Q(10)):
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
Cyfrifo gwerthoedd esbonyddol:
\[ Q(10) = 200 \times 0.0821 \]
\[ Q(10) \tua 16.42 \testun{ C} \]
Felly, ar ôl 10 eiliad, mae'r gwefr sy'n weddill ar y cynhwysydd tua 16.42 C.
Cwestiwn Enghraifft 3: Pydredd Cemegol
Cwestiwn:
Mae gan gemegyn gysonyn dadfeiliad o \( \lambda = 0.05 \text{ diwrnod}^{-1} \). Pa mor hir y bydd yn ei gymryd i'r cemegyn leihau i 25% o'i faint gwreiddiol?
Trafodaeth:
Rydym yn dechrau gyda'r fformiwla gyffredinol ar gyfer dirywiad esbonyddol:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Rydym eisiau i N(t) fod yn 25% o \( N_0 \), fel bod:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
Gan ddileu \( N_0 \) o'r ddwy ochr:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
Defnyddio logarithmau naturiol i ddatrys achosion esbonyddol:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
Datrys ar gyfer \(t \):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \tua 27.726 \text{ diwrnodau} \]
Felly, yr amser sydd ei angen i'r cemegyn leihau i 25% o'i faint cychwynnol yw tua 27.726 diwrnod.
Cwestiwn Enghraifft 4: Pydredd Poblogaeth Bacteriol
Cwestiwn:
Mae poblogaeth bacteria yn lleihau ar gyfradd esbonyddol fel bod y boblogaeth yn hanner ei nifer cychwynnol ar ôl 3 awr. Os oedd y boblogaeth gychwynnol yn 8000 o facteria, faint o facteria sydd ar ôl ar ôl 9 awr?
Trafodaeth:
Gwyddys bod yr hanner oes \(t_{1/2} = 3 \) awr. Yn gyntaf, rydym yn darganfod y cysonyn dadfeiliad \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231 \text{ awr}^{-1} \]
Ar ôl hynny, rydym yn defnyddio'r fformiwla dadfeiliad esbonyddol:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \times 9} \]
Cyfrifo gwerthoedd esbonyddol:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 \times 0.125 \]
\[ N(9) \tua 1000 \]
Felly, ar ôl 9 awr, bydd tua 1000 o facteria yn weddill.
Casgliad
Mae'r model dadfeiliad esbonyddol yn darparu dull effeithlon o ddatrys problemau sy'n gysylltiedig â phrosesau dadfeiliad mewn amrywiaeth o gymwysiadau gwyddonol a pheirianneg. Drwy ddeall cysyniadau sylfaenol fel cysonion dadfeiliad, hanner oesau, a defnyddio fformwlâu esbonyddol, gallwn gyfrifo'r newid mewn maint dros amser yn gymharol hawdd. Dylai'r problemau ymarfer a drafodwyd uchod ein helpu i ddeall a chymhwyso'r cysyniad o ddadfeiliad esbonyddol i sefyllfaoedd mwy cymhleth.
