Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Tebygolrwydd Digwyddiadau Cyfansawdd
Cyflwyniad i Debygolrwydd Digwyddiadau Cyfansawdd
Mae tebygolrwydd yn gangen o fathemateg sy'n astudio'r tebygolrwydd y bydd digwyddiad yn digwydd. Tebygolrwydd digwyddiad cyfansawdd yw tebygolrwydd digwyddiad sy'n cynnwys mwy nag un digwyddiad. Er enghraifft, mae tebygolrwydd rholio rhif eilrif ar ddis ac as o becyn o gardiau chwarae yn enghreifftiau o ddigwyddiadau cyfansawdd. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol ac yn trafod tebygolrwydd digwyddiadau cyfansawdd.
Cysyniad Sylfaenol Tebygolrwydd Digwyddiadau Cyfansawdd
Mae dau fath o ddigwyddiadau cyfansawdd:
1. Digwyddiadau sy'n Cyd-anghynhwysol: Dau ddigwyddiad na allant ddigwydd ar yr un pryd. Er enghraifft, wrth rolio dis, mae digwyddiadau rholio 2 a 5 yn ddigwyddiadau sy'n cyd-anghynhwysol oherwydd ei bod hi'n amhosibl rholio'r ddau rif ar yr un pryd.
2. Digwyddiadau Heb eu Cyd-eithrio: Dau ddigwyddiad a all ddigwydd ar yr un pryd. Er enghraifft, mewn tynnu cardiau chwarae, mae digwyddiadau cael cerdyn calon (♥) a cherdyn gyda'r rhif 10 yn ddigwyddiadau heb eu cyd-eithrio oherwydd bod cerdyn calon gyda'r rhif 10.
Dyma rai fformwlâu sylfaenol a ddefnyddir wrth gyfrifo tebygolrwydd digwyddiadau cyfansawdd:
– P(A neu B) (ar gyfer digwyddiadau nad ydynt yn cyd-eithriadol): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A neu B) (ar gyfer digwyddiadau sy'n eithrio'i gilydd): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A a B) (ar gyfer digwyddiadau annibynnol): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1: Dis
Cwestiwn:
Beth yw'r tebygolrwydd o gael rhif eilrif neu rif sy'n fwy na 4 ar ddis?
Trafodaeth:
Yn gyntaf, gadewch i ni ddiffinio'r digwyddiadau:
– Digwyddiad A: Cael rhif eilrif (2, 4, 6)
– Digwyddiad B: Cael rhif sy'n fwy na 4 (5, 6)
Nesaf, rydym yn pennu tebygolrwydd pob digwyddiad:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Gan fod rhif 6 wedi'i gynnwys yn nigwyddiadau A a B, mae angen i ni gyfrifo \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (oherwydd mai dim ond un rhif, sef 6, sydd wedi'i gynnwys yn A a B)
Drwy ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer digwyddiadau nad ydynt yn gyd-eithriadol:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Gadewch i ni wneud enwaduron y ffracsiynau hyn yr un fath:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Felly, y tebygolrwydd o gael rhif eilrif neu rif sy'n fwy na 4 yw \(\frac{2}{3}\).
Cwestiwn Enghraifft 2: Cardiau Chwarae
Cwestiwn:
Beth yw'r tebygolrwydd o gael As neu Rhaw o bec o gardiau chwarae?
Trafodaeth:
Yn gyntaf, gadewch i ni ddiffinio'r digwyddiadau:
– Digwyddiad A: Cael cerdyn As (4 i gyd, un ar gyfer pob siwt)
– Digwyddiad B: Cael cerdyn rhaw (cyfanswm o 13)
Nesaf, rydym yn pennu tebygolrwydd pob digwyddiad:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Gan fod yr As o Rhawiau wedi'i gynnwys yn y ddau ddigwyddiad A a B, mae angen i ni gyfrifo \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Drwy ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer digwyddiadau nad ydynt yn gyd-eithriadol:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Gadewch i ni wneud enwaduron y ffracsiynau hyn yr un fath:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Felly, y tebygolrwydd o gael As neu rhaw yw \(\frac{4}{13}\).
Problem Enghraifft 3: Pêl mewn Blwch
Cwestiwn:
Mewn blwch mae 3 pêl goch, 4 pêl las, a 5 pêl werdd. Os tynnir un bêl ar hap, beth yw'r tebygolrwydd o gael pêl goch neu bêl werdd?
Trafodaeth:
Yn gyntaf, gadewch i ni ddiffinio'r digwyddiadau:
– Digwyddiad A: Cael pêl goch (rhif 3)
– Digwyddiad B: Cael pêl werdd (rhif 5)
Nesaf, rydym yn pennu tebygolrwydd pob digwyddiad:
– Cyfanswm nifer y peli = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Gan na all unrhyw bêl fod yn goch ac yn wyrdd ar yr un pryd, mae'r digwyddiadau hyn yn gyd-eithriadol:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Gadewch i ni wneud enwaduron y ffracsiynau hyn yr un fath:
\[
P(A ≤ B) = ≤ 3 + ≤ 5 = ≤ 8 = ≤ 2
\]
Felly, y tebygolrwydd o gael pêl goch neu bêl werdd yw \(\frac{2}{3}\).
Cwestiwn Enghraifft 4: Dau Darn Arian
Cwestiwn:
Os caiff dau ddarn arian eu taflu ar yr un pryd, beth yw'r tebygolrwydd y bydd o leiaf un pen yn ymddangos?
Trafodaeth:
Rydym yn diffinio Digwyddiad A: profi o leiaf un ddelwedd.
Mae pedwar canlyniad posibl o daflu dau ddarn arian:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Digwyddiadau sy'n cynnwys o leiaf un ddelwedd yw:
– HT
– TH
– TT
Gadewch i ni gyfrifo tebygolrwydd pob un:
– Nifer y digwyddiadau posibl (cyfanswm): 4
– Nifer y digwyddiadau sy'n cynnwys o leiaf un ddelwedd: 3
\[
P(A) = \frac{Nifer y digwyddiadau gydag o leiaf un pen}{Cyfanswm y digwyddiadau} = \frac{3}{4}
\]
Felly, y tebygolrwydd y bydd o leiaf un ddelwedd yn ymddangos yw \(\frac{3}{4}\).
Casgliad
Mae'r drafodaeth o'r problemau uchod yn dangos sut y gallwn gyfrifo tebygolrwydd digwyddiad cyfansawdd, boed yn gyd-eithriadol neu'n anghyd-eithriadol. Drwy ddeall y cysyniadau sylfaenol a defnyddio'r fformwlâu cywir, gallwn bennu tebygolrwydd rhai cyfuniadau o ddigwyddiadau yn digwydd mewn amrywiol sefyllfaoedd bob dydd. Parhewch i ymarfer eich sgiliau gyda phroblemau amrywiol i ddod yn fwy hyfedr wrth bennu tebygolrwydd digwyddiadau cyfansawdd.
