Enghraifft o gwestiwn trafod ar debygolrwydd digwyddiadau cyfansawdd annibynnol yn amodol
Rhagymadrodd
Mae tebygolrwydd yn gangen o fathemateg sy'n astudio'r tebygolrwydd y bydd digwyddiad yn digwydd. Un o'r cysyniadau sylfaenol mewn damcaniaeth tebygolrwydd yw digwyddiadau cyfansawdd, y gellir eu categoreiddio naill ai fel rhai annibynnol neu amodol. Bydd yr erthygl hon yn archwilio'r cysyniadau hyn yn fanwl trwy broblemau enghreifftiol a thrafodaethau.
Digwyddiadau Cyfansawdd
Digwyddiad cyfansawdd yw cyfuniad o ddau neu fwy o ddigwyddiadau sy'n digwydd mewn gofod sampl. Mae dau fath o ddigwyddiadau cyfansawdd: digwyddiadau sy'n cyd-eithriadol a digwyddiadau amodol.
1. Digwyddiadau Annibynnol: Dywedir bod dau ddigwyddiad yn annibynnol os nad yw llwyddiant neu fethiant un digwyddiad yn effeithio ar ganlyniad y llall. Er enghraifft, canlyniad taflu darn arian a rholio dis.
2. Digwyddiadau Amodol: Mae digwyddiadau amodol yn digwydd pan fydd llwyddiant neu fethiant un digwyddiad yn effeithio ar y tebygolrwydd y bydd digwyddiad arall yn digwydd. Er enghraifft, y siawns y bydd rhywun yn datblygu clefyd os oes ganddynt dueddiad genetig i'r clefyd hwnnw.
Tebygolrwydd Digwyddiadau Annibynnol
Y fformiwla ar gyfer cyfrifo tebygolrwydd dau ddigwyddiad annibynnol A a B yw:
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
Ble:
– \(P(A \cap B)\) yw'r tebygolrwydd y bydd digwyddiadau A a B yn digwydd ar yr un pryd.
– \(P(A)\) yw'r tebygolrwydd y bydd digwyddiad A yn digwydd.
– \(P(B)\) yw'r tebygolrwydd y bydd digwyddiad B yn digwydd.
Cwestiynau a Thrafodaeth Enghreifftiol: Digwyddiadau Annibynnol i'w Gilydd
Cwestiwn 1: Mae darn arian yn cael ei daflu a dis chwe ochr yn cael ei rolio. Pennwch y tebygolrwydd o gael pen ar y darn arian a 4 ar y dis.
Trafodaeth:
– Tebygolrwydd y bydd delwedd yn ymddangos ar ddarn arian: \( P(G) = \frac{1}{2} \)
– Tebygolrwydd cael y rhif 4 ar y dis: \( P(4) = \frac{1}{6} \)
Gan fod y darn arian a'r dis yn ddau ddigwyddiad annibynnol, y tebygolrwydd y bydd y ddau yn digwydd ar yr un pryd yw:
[P(G \cap4) = P(G) \times P(4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \]
Felly, y tebygolrwydd o gael llun ar y darn arian a 4 ar y dis yw \( \frac{1}{12} \).
Tebygolrwydd Amodol Digwyddiadau
Y tebygolrwydd amodol ar gyfer dau ddigwyddiad A a B yw'r tebygolrwydd y bydd A yn digwydd o ystyried bod B wedi digwydd. Dangosir y fformiwla ar gyfer cyfrifo tebygolrwydd amodol fel a ganlyn:
[ P(A|B) = \frac{P(A | B)}{P(B)} \]
Ble:
– \( P(A|B) \) yw'r tebygolrwydd y bydd digwyddiad A yn digwydd ar yr amod bod digwyddiad B eisoes wedi digwydd.
– \( P(A \cap B) \) yw'r tebygolrwydd y bydd digwyddiadau A a B yn digwydd ar yr un pryd.
– \( P(B) \) yw'r tebygolrwydd y bydd digwyddiad B yn digwydd.
Cwestiynau a Thrafodaeth Enghreifftiol: Digwyddiadau Amodol
Cwestiwn 2: O flwch sy'n cynnwys 3 pêl goch a 2 bêl las, tynnir dwy bêl ar hap un wrth un heb eu rhoi yn ôl. Dewch o hyd i'r tebygolrwydd bod yr ail bêl a dynnir yn goch o ystyried bod y bêl gyntaf hefyd yn goch.
Trafodaeth:
Er enghraifft:
– A yw'r digwyddiad lle mae'r bêl gyntaf yn goch.
– B yw'r digwyddiad lle mae'r ail bêl yn goch.
Rydym yn chwilio am \( P(B|A) \). Yn gyntaf, rydym yn cyfrifo \(P(A)\) a \(P(A \cap B)\):
Cyfanswm nifer y peli = 5 (3 coch a 2 las).
Cyfle cyntaf i'r bêl goch:
\[
P(A) = \frac{3}{5}
\]
Ar ôl i'r bêl goch gyntaf gael ei thynnu, nifer y peli coch sy'n weddill yw 2 a chyfanswm y peli yw 4.
Tebygolrwydd y bydd yr ail bêl yn goch ar ôl i'r bêl goch gyntaf gael ei thynnu:
\[
P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Felly, y tebygolrwydd bod yr ail bêl yn goch os yw'r bêl gyntaf hefyd yn goch yw \( \frac{1}{2} \).
Cwestiynau Enghreifftiol Cyfuniad
I ddyfnhau ein dealltwriaeth, gallwn gyfuno digwyddiadau cyfansawdd annibynnol ac amodol mewn un cwestiwn.
Cwestiwn 3: Mae bag yn cynnwys 5 pêl goch a 3 pêl las. Tynnir dwy bêl ar hap heb eu rhoi yn ôl. Dewch o hyd i'r tebygolrwydd bod y bêl gyntaf yn goch a'r ail bêl yn las.
Trafodaeth:
Rydym yn defnyddio'r un nodiant ag o'r blaen:
– A yw'r digwyddiad lle mae'r bêl gyntaf yn goch.
– B yw'r digwyddiad lle mae'r ail bêl yn las.
Yn gyntaf, rydym yn cyfrifo tebygolrwydd pob digwyddiad yn olynol.
Tebygolrwydd y bydd y bêl gyntaf yn goch:
\[
P(A) = \frac{5}{8}
\]
Os yw'r bêl gyntaf yn goch, nifer y peli coch sy'n weddill = 4, a chyfanswm nifer y peli sy'n weddill = 7.
Tebygolrwydd y bydd yr ail bêl yn las ar ôl i'r bêl gyntaf fod yn goch:
\[
P(B|A) = \frac{3}{7}
\]
Felly, y tebygolrwydd bod y bêl gyntaf yn goch a'r ail bêl yn las yw cynnyrch y ddau debygolrwydd amodol hyn:
\[
P(A ≥ B) = P(A) × P(B|A) = 5×8 × 3×7 = 15×56
\]
Felly, y tebygolrwydd bod y bêl gyntaf yn goch a'r ail bêl yn las yw \( \frac{15}{56} \).
Casgliad
Mewn damcaniaeth tebygolrwydd, mae deall y gwahaniaeth rhwng digwyddiadau annibynnol ac amodol yn hanfodol ar gyfer datrys problemau sy'n cynnwys digwyddiadau cyfansawdd. Trwy broblemau enghreifftiol, rydym yn dysgu sut i gyfrifo tebygolrwyddau gwahanol senarios sy'n cynnwys y ddau gysyniad hyn. Gall dealltwriaeth dda o'r cysyniadau hyn gynorthwyo gwneud penderfyniadau mewn sefyllfaoedd byd go iawn fel rheoli risg, gemau ac ymchwil wyddonol.
Mae cymhwyso mathemateg ym mywyd beunyddiol yn dangos pa mor hanfodol yw'r ddealltwriaeth hon i wahanol agweddau ar fywyd dynol, o'r symlaf i'r mwyaf cymhleth. Drwy ymarfer a meistroli'r cysyniadau sylfaenol hyn yn barhaus, bydd ein sgiliau mewn dadansoddi tebygolrwydd yn hogi.
