Enghraifft o Gwestiynau Trafod Gweithrediad Fector
Mae gweithrediadau fector yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg sy'n ymddangos yn aml mewn amrywiol feysydd ymchwil, fel ffiseg, peirianneg a chyfrifiadureg. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl enghraifft o weithrediadau fector a'u datrysiadau i ddarparu dealltwriaeth ddyfnach a mwy concrit. Bydd yr enghreifftiau hyn yn cwmpasu gweithrediadau sylfaenol fel adio a thynnu fector, yn ogystal â gweithrediadau mwy datblygedig fel lluosi sgalar a lluosi traws-fector.
1. Adio a Thynnu Fectorau
Cwestiwn Enghraifft 1
O ystyried dau fector A a B ar ffurf gydran:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Cyfrifwch ganlyniad adio a thynnu'r ddau fector.
Trafodaeth
Ar gyfer adio fectorau, rydym yn adio pob cydran gyfatebol o'r ddau fector.
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Ar gyfer tynnu fector, rydym yn tynnu pob cydran gyfatebol o'r ddau fector.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. Lluosi Sgalar â Fector
Cwestiwn Enghraifft 2
O ystyried fector C a sgalar k:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ end{pmatrix} \]
\[k = 4 \]
Cyfrifwch luoswm sgalar y fector C gan y sgalar k.
Trafodaeth
Gwneir lluosi sgalar â fector trwy luosi pob cydran o'r fector â'r sgalar.
[k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. Cynnyrch Dot
Cwestiwn Enghraifft 3
O ystyried dau fector D ac E:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \dechrau{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Cyfrifwch luoswm dot y ddau fector.
Trafodaeth
Ceir lluoswm dot dau fector trwy adio lluoswm eu cydrannau cyfatebol.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. Cynnyrch Traws
Cwestiwn Enghraifft 4
O ystyried dau fector F a G:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Cyfrifwch groes-luoswm y ddau fector.
Trafodaeth
Ceir croes-lluoswm dau fector mewn gofod tri dimensiwn trwy ddefnyddio determinant y matrics a ffurfiwyd gan y fectorau hynny. Rhoddir y croes-lluoswm gan y fformiwla:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
Gellir cyfrifo hyn yn y ffordd ganlynol:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} {\k}\end{vmatrix} + 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\]
Cyfrifo determinant pob is-fatrics:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \\ diwedd{pmatrix}
\]
Felly, croes-lluoswm F a G yw:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. Pennu'r Ongl Rhwng Dau Fector
Cwestiwn Enghraifft 5
O ystyried dau fector H ac I:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \\ end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Pennwch yr ongl rhwng y ddau fector.
Trafodaeth
Gellir canfod yr ongl \(\theta\) rhwng dau fector trwy ddefnyddio'r berthynas rhwng y cynnyrch dot a meintiau'r ddau fector:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| || \mathbf{I} \| \cos \theta \]
Yn gyntaf, cyfrifwch y lluoswm dot \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
[H = 6 1 + 2 4 + 3 (-2) = 6 + 8 – 6 = 8]
Nesaf, cyfrifwch faint y ddau fector:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
Yna, amnewidiwch y gwerthoedd hyn yn y fformiwla ongl:
\[ \cos \theta = \frac{ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| || \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
[\theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{7\sqrt{21}} \right) \]
O ganlyniad terfynol, gallwn ddefnyddio'r gyfrifiannell i ddod o hyd i werth yr ongl:
\[ \theta \tua 73,4^\circ \]
Casgliad
Mae'r cysyniad o weithrediadau fector yn hanfodol mewn mathemateg a gwyddoniaeth. Mae'r erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol a'u datrysiadau, yn amrywio o adio a thynnu fectorau, lluosi sgalar, cynnyrch dot, cynnyrch croes, a phennu'r ongl rhwng dau fector. Drwy weithio drwy'r enghreifftiau hyn, rydym yn gobeithio gwella eich dealltwriaeth o weithrediadau fector a'ch helpu i ddatrys problemau sy'n cynnwys fectorau mewn gwahanol gyd-destunau.
