Enghreifftiau o Gwestiynau a Thrafodaethau ar Weithrediadau ar Rhifau Cymhleth
Mae rhifau cymhleth yn estyniad o'r cysyniad o rifau real i gynnwys rhifau dychmygol. Ffurf gyffredinol rhif cymhleth yw a + bi, lle mae a a b yn rifau real, ac mae i yn uned ddychmygol gyda'r priodwedd i² = -1. Mae gweithrediadau ar rifau cymhleth yn cynnwys adio, tynnu, lluosi a rhannu. Bydd yr erthygl hon yn darparu sawl problem enghreifftiol a thrafodaeth ar gyfer gwahanol weithrediadau ar rifau cymhleth.
Adio a Thynnu Rhifau Cymhleth
Cwestiwn Enghraifft 1
Adio'r rhifau cymhlyg canlynol: (3 + 4i) a (1 + 2i).
Trafodaeth:
Gwneir adio rhifau cymhleth trwy adio eu rhannau real a dychmygol ar wahân.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
Felly, canlyniad adio (3 + 4i) ac (1 + 2i) yw 4 + 6i.
Cwestiwn Enghraifft 2
Tynnwch y rhif cymhlyg (2 + 5i) o (6 + 3i).
Trafodaeth:
Gwneir tynnu rhifau cymhlyg trwy dynnu'r rhan real a'r rhan ddychmygol ar wahân.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
Felly, canlyniad tynnu (2 + 5i) o (6 + 3i) yw 4 – 2i.
Lluosi Rhifau Cymhleth
Cwestiwn Enghraifft 3
Lluoswch y rhifau cymhlyg canlynol: (2 + 3i) a (4 + i).
Trafodaeth:
Gwneir lluosi rhifau cymhleth gan ddefnyddio dosraniadau neu drefniadau ffurfiol, yn debyg i luosi dau finomial mewn algebra cyffredin.
\[
(2 + 3i) ⋅ (4 + i) = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ i + 3i ⋅ 4 + 3i ⋅ i
\]
Yna rydym yn cyfrifo'n fanwl:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
Gan fod \( i^2 = -1 \):
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
Felly, canlyniad lluosi (2 + 3i) a (4 + i) yw 5 + 14i.
Rhannu Rhifau Cymhleth
Cwestiwn Enghraifft 4
Rhannwch y rhif cymhlyg canlynol: (5 + 6i) â (2 + i).
Trafodaeth:
Rhannu rhifau cymhlyg gan ddefnyddio cyfuniad yr enwadur. Cyfuniad \(2 + i\) yw \(2 – i\).
Rydym yn lluosi'r rhifiadur a'r enwadur â chyfuniad yr enwaduron:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
Nawr rydym yn cyfrifo'r rhifiadur a'r enwadur ar wahân:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
Lluosi enwaduron:
\[
(2 + i) \cdot (2 – i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
Lluosi'r rhifiadau:
\[
(5 + 6i) ⋅ (2 – i) = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ (-i) + 6i ⋅ 2 + 6i ⋅ (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
Felly, y rhaniad yw:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
Felly canlyniad rhannu (5 + 6i) â (2 + i) yw 3.2 + 1.4i.
Trafodaeth Ychwanegol: Modwlws a Chyfuniadau Rhifau Cymhleth
Cwestiwn Enghraifft 5
Dewch o hyd i fodiwlws a chyfuniad y rhif cymhlyg \(z = 3 + 4i\).
Trafodaeth:
Modwlws y rhif cymhlyg \(z = a + bi\) yw:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Ar gyfer \(z = 3 + 4i\):
\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Cyfuniad y rhif cymhlyg \(z = a + bi\) yw \(z^ = a – bi\).
Ar gyfer \(z = 3 + 4i\):
\[
z^ = 3 – 4i
\]
Felly modwlws \(3 + 4i\) yw 5, a'i gyfuniad yw \(3 – 4i\).
Casgliad
Mae rhifau cymhleth yn chwarae rhan hanfodol mewn amrywiaeth eang o feysydd mathemategol a chymwysiadau technegol. Mae deall gweithrediadau sylfaenol ar rifau cymhleth, fel adio, tynnu, lluosi a rhannu, yn allweddol i ddefnyddio'r cysyniadau hyn wrth ddatrys problemau mwy cymhleth. Bydd ymarfer gwahanol fathau o broblemau, fel y rhai a ddisgrifir uchod, yn helpu i gryfhau eich dealltwriaeth a'ch sgiliau wrth weithio gyda rhifau cymhleth.
