Enghraifft o Gwestiynau Trafod y Dull Sgwariau Lleiaf
Mae'r Dull Sgwariau Lleiaf (LEM) yn ddull ystadegol a ddefnyddir i ddod o hyd i'r llinell ffitio orau sy'n rhagweld data yn fwyaf effeithiol. Defnyddir y dull hwn yn aml mewn dadansoddiad atchweliad llinol i ganfod y berthynas rhwng newidynnau annibynnol a dibynnol. Bydd yr erthygl hon yn ymdrin â chysyniadau sylfaenol y dull sgwariau lleiaf, ynghyd ag enghreifftiau ac esboniadau cam wrth gam ar gyfer dealltwriaeth ddyfnach o sut mae'r dull hwn yn gweithio.
Cysyniadau Sylfaenol y Dull Sgwariau Lleiaf
Nod y dull sgwariau lleiaf yw lleihau swm sgwariau'r gwahaniaethau rhwng y gwerthoedd a arsylwyd a'r gwerthoedd a ragfynegwyd gan y model atchweliad. Gellir ysgrifennu hafaliad llinell atchweliad llinol syml fel:
\[ y = a + bx \]
Ble:
– \(y \) yw'r newidyn dibynnol,
– \(x \) yw'r newidyn annibynnol,
– \( a \) yw'r rhyngdoriad (gwerth \( y \) pan \( x = 0 \)),
– \( b \) yw llethr y llinell (llethr, neu gyfernod atchweliad).
Mae'r dull sgwariau lleiaf yn amcangyfrif y paramedrau \(a \) a \(b \) sy'n lleihau'r ffwythiant canlynol:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
Lle mae SSE yn Swm y Gwallau Sgwâr, \( y_i \) yw'r gwerth gwirioneddol, ac \( \hat{y_i} = a + bx_i \) yw'r gwerth rhagfynegedig.
Camau'r Dull Sgwariau Lleiaf
Er mwyn egluro'r cysyniad, byddwn yn datrys problem enghreifftiol sy'n cynnwys defnyddio'r dull sgwariau lleiaf.
Enghraifft o broblemau
O ystyried y data canlynol:
| x (Oriau astudio) | y (Sgôr arholiad) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Penderfynwch ar y llinell atchweliad llinol sy'n gweddu orau i'r data.
Trafodaeth
1. Cyfrifo Cyfartaledd \( \bar{x} \) a \( \bar{y} \)
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. Cyfrifo'r Paramedr \( b \) (Goleddf)
Cyfrifir y paramedr \(b \) gan:
\[
b = \frac{\sum(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum(x_i – \bar{x})^2}
\]
Cyfrifo pob cydran:
\[
\sum(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
Felly hynny:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. Cyfrifo'r Paramedr \( a \) (Rhyngdoriad)
Gan ddefnyddio cyfartaledd \( \bar{x} \) a \( \bar{y} \):
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. Ysgrifennu'r Hafaliad Llinell Atchweliad
Gyda'r paramedrau a geir, gallwn ysgrifennu hafaliad y llinell atchweliad:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
Dehongli a Gwirio
Er mwyn sicrhau bod y llinell atchweliad hon yn ffitio, gallwn gyfrifo'r gwerth-y a ragfynegwyd (\(\hat{y}\)) ar gyfer pob x yn y data cychwynnol, yn ogystal â chyfrifo Swm y Gwallau Sgwâr (SSE) i ddilysu cywirdeb y rhagfynegiad.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y - \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Gyda SSE cymharol fach, gallwn ddod i'r casgliad bod y llinell atchweliad a gynhyrchwyd gan y dull sgwariau lleiaf yn addas ar gyfer y data hwn.
Casgliad
Mae'r Dull Sgwariau Lleiaf yn offeryn dadansoddi ystadegol pwerus ar gyfer pennu'r llinell or-ffit ar gyfer set ddata, gan leihau gwall rhagfynegi yn seiliedig ar sgwâr y gwyriadau. Trwy ddefnyddio'r camau o gyfrifo'r cymedr, amcangyfrif y llethr a'r rhyngdoriad, ac ysgrifennu a gwirio hafaliad y llinell atchweliad, gallwn ragweld gwerth y newidyn dibynnol yn gywir o'r newidynnau annibynnol.
Mae dealltwriaeth dda o'r dull hwn yn hynod ddefnyddiol mewn meysydd fel economeg, bioystadegaeth, peirianneg, a'r gwyddorau cymdeithasol lle mae dadansoddiad atchweliad yn cael ei gymhwyso'n aml. Mae'r erthygl hon, gydag enghreifftiau pendant, yn dangos pwysigrwydd a defnyddioldeb y fethodoleg hon wrth ddadansoddi data.
