Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Gylchoedd a Chordiau
Mae'r cylch yn un o'r siapiau geometrig sylfaenol a astudir yn aml mewn mathemateg. Un cysyniad pwysig sy'n gysylltiedig â chylchoedd yw'r cord, sef llinell sy'n cysylltu dau bwynt ar gylch heb fynd trwy'r canol. Mae deall cylchoedd a chordiau yn hanfodol i astudio geometreg. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol a thrafodaeth sy'n gysylltiedig â chylchoedd a chordiau i ddyfnhau ein dealltwriaeth o'r cysyniadau hyn.
Dealltwriaeth Sylfaenol
Cylch
Mae cylch yn gasgliad o'r holl bwyntiau mewn plân sydd yr un pellter o bwynt penodol o'r enw'r canol. Os yw canol y cylch yn bwynt O a radiws y cylch yn r, yna gellir mynegi'r cylch gan yr hafaliad (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² ar ffurf Cartesaidd.
Llinyn bwa
Cord mewn cylch yw llinell sy'n cysylltu dau bwynt ar y cylch. Mae hyd cord yn dibynnu nid yn unig ar radiws y cylch ond hefyd ar faint yr ongl ganolog sy'n ei wynebu.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1:
Cwestiwn: O ystyried cylch gyda radiws o 10 cm a chord AB gyda hyd o 16 cm. Penderfynwch y pellter byrraf o ganol y cylch i'r cord.
Trafodaeth:
I ddod o hyd i'r pellter o ganol y cylch i'r cord, gallwn ddefnyddio'r fformiwla triongl sgwâr a ffurfiwyd rhwng y radiws, y pellter o'r canol i'r cord, a hanner hyd y cord.
Tybiwch mai pwynt O yw canol y cylch a phwynt P yw'r pwynt yng nghanol y cord AB sy'n berpendicwlar i AB. Felly, OP yw'r pellter o ganol y cylch O i'r cord AB.
Yn y triongl OAP (triongl dde yn P), gallwn gymhwyso Theorem Pythagoras:
OP² + AP² = OA²
Rydyn ni'n gwybod bod:
– OA (radiws y cylch) = 10 cm
– AB (hyd y llinyn bwa) = 16 cm, felly AP = 16/2 = 8 cm.
Amnewidiwch y gwerthoedd hysbys yn yr hafaliad:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Felly, y pellter byrraf o ganol y cylch i'r cord yw 6 cm.
Cwestiwn 2:
Cwestiwn: Mae gan gylch gyda chanol O radiws o 8 cm. Mae'r cord AB yn ffurfio ongl ganolog ∠AOB o 120°. Pennwch hyd y cord AB.
Trafodaeth:
I gyfrifo hyd y cord sy'n ffurfio'r ongl ganolog (θ), gallwn ddefnyddio'r fformiwla:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Ble:
– r yw radiws y cylch (8 cm yn y cwestiwn hwn)
– θ yw'r ongl a wneir gan y cord yng nghanol y cylch (120° yn y broblem hon)
Amnewidiwch y gwerthoedd hysbys:
AB = 2 × 8 cm × sin(120°/2)
AB = 16 cm × sin(60°)
AB = 16 cm × (√3 / 2)
AB = 8√3 cm
Felly, hyd y cord AB yw 8√3 cm.
Cwestiwn 3:
Cwestiwn: Mae cylch gyda radiws o 13 cm a chord AB 5 cm o ganol y cylch. Pennwch hyd y cord AB.
Trafodaeth:
Yn yr achos hwn, gallwn ddefnyddio'r triongl sgwâr a ffurfiwyd i ddod o hyd i hyd y cord. Dyweder mai pwynt O yw canol y cylch, pwynt P yw'r pwynt ar y cord sydd agosaf at y canol, ac AB yw'r cord.
Rydyn ni'n gwybod:
– OA (radiws y cylch) = 13 cm
– OP (pellter canol i'r llinyn bwa) = 5 cm.
Yn y triongl pensiynwyr:
OP² + AP² = OA²
Rydym yn dod o hyd i AP (hanner hyd y cord):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Felly, hyd y cord AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 cm.
Cwestiwn 4:
Cwestiwn: O ystyried cylch gyda radiws o 10 cm. Mae gan gord AB hyd o 12 cm. Penderfynwch faint yr ongl ganolog ∠AOB.
Trafodaeth:
Yn yr achos hwn, mae angen i ni ddefnyddio gwrthdro'r ffwythiant trigonometrig i bennu'r ongl ganolog ∠AOB. Yn seiliedig ar y fformiwla ar gyfer hyd cord sy'n cynnwys yr ongl ganolog θ, gallwn ailysgrifennu'r fformiwla i gyfrifo θ:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Ble:
– r yw radiws y cylch (10 cm)
– AB yw hyd y llinyn bwa (12 cm)
Gosodwch hafaliad i ynysu sin(θ/2):
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
Dewch o hyd i werth θ/2:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Felly,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Felly, yr ongl ganolog ∠AOB yw 73.74°.
Casgliad
Mae astudio cylchoedd a chordiau yn gofyn am ddealltwriaeth o geometreg sylfaenol a thrigonometreg. Yn yr enghreifftiau uchod, rydym wedi gweld sut i ddefnyddio gwahanol fformwlâu a theoremau, fel Theorem Pythagoras, ffwythiannau trigonometreg, a phriodweddau sylfaenol cylchoedd, i ddatrys problemau.
Drwy’r problemau ymarfer hyn, gobeithir y gellir cyflawni dealltwriaeth ddyfnach o’r berthynas rhwng y radiws, hyd y cord, a’r ongl ganolog sy’n deillio o hynny. Mae deall y cysyniad hwn yn ddefnyddiol nid yn unig mewn mathemateg ysgol ond hefyd mewn cymwysiadau bob dydd ar draws amrywiol feysydd gwyddoniaeth a pheirianneg.
