Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Cylchoedd a Thangiadau
Mae cylchoedd yn bwnc pwysig mewn geometreg matrics, lle mae cysyniadau dwys am bellter, onglau a siapiau yn cael eu dangos. Un cysyniad a drafodir yn aml yn y pwnc hwn yw'r llinell tangiad i gylch. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol sy'n cynnwys cylchoedd a thangiadau.
Dealltwriaeth Sylfaenol o Gylchoedd a Thangiadau
Cylch
Cylch yw siâp geometrig a ffurfir gan y set o bob pwynt mewn plân sydd bellter penodol o bwynt penodol o'r enw canol y cylch. Gelwir y pellter penodol hwn yn radiws y cylch.
Tangent
Mae tangiad i gylch yn llinell sy'n cyffwrdd â'r cylch mewn un pwynt yn union. Gelwir y pwynt hwn yn bwynt tangiad. Mae gan dangiadau sawl priodwedd bwysig, gan gynnwys:
– Mae'r llinell tangiad bob amser yn berpendicwlar i radiws y cylch wrth y pwynt tangiad.
– Mae hyd tangiad o bwynt y tu allan i'r cylch i'r cylch yr un fath os yw dau dangiad yn cael eu llunio o'r pwynt hwnnw.
Cwestiynau a Thrafodaethau Enghreifftiol
Isod byddwn yn cyflwyno sawl cwestiwn enghreifftiol sy'n trafod y cysyniad o gylchoedd a thangiadau yn fanwl.
Cwestiwn Enghraifft 1: Dod o Hyd y Llinell Tangiad
Cwestiwn:
O ystyried cylch gyda chanol \(O\) a radiws \(r = 6 \, \text{cm}\). O bwynt \(P\) y tu allan i'r cylch sydd 10 cm o ganol y cylch, mae dau dangiad \(PA\) a \(PB\) yn cael eu llunio i'r cylch. Cyfrifwch hyd y tangiad \(PA\).
Trafodaeth:
Yn y broblem hon, gallwn ddefnyddio theorem Pythagoras. Lluniwch driongl \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (pellter o'r pwynt allanol i ganol y cylch)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (radiws y cylch)
– \(PA\) yw'r llinell tangiad y mae'n rhaid ei darganfod
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Felly, hyd y llinell tangiad \(PA\) yw 8 cm.
Cwestiwn Enghraifft 2: Dod o Hyd i'r Pwynt Tangiad
Cwestiwn:
O ystyried cylch gyda'r hafaliad \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) a llinell \(y = 2x + 1\). Penderfynwch y pwynt tangiad rhwng y cylch a'r llinell.
Trafodaeth:
Yn gyntaf, rydym yn nodi canol a radiws y cylch:
– Canol \(O(3, 4)\)
– Radiws \(r = \sqrt{25} = 5\)
I ddod o hyd i'r pwynt tangiad, gadewch i ni dybio mai'r pwynt tangiad yw \(T(x_1, y_1)\) sydd hefyd yn gorwedd ar y llinell \(y = 2x + 1\). Yna:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
Rhaid i \(T(x_1, y_1)\) hefyd fodloni hafaliad y cylch:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Amnewidiwch \(y_1 = 2x_1 + 1\) yn hafaliad y cylch:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Mae angen i ni gyfrifo dau sgwâr.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Cyfunwch y ddau ganlyniad:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Tynnwch 25 o'r ddwy ochr:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Datryswch yr hafaliad cwadratig:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 ⋅ 0.4 ⋅ 29
\]
Cyfrifwch werth \(y_1\):
Sy'n bodloni y = 2x + 1:
– Os yw \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), yna \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Os yw \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), yna \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Gwerthusiad:
Felly rydyn ni'n cael dau bwynt croestoriad hafaliad y cylch â'r llinell honno.
Cwestiwn Enghraifft 3: Pennu Hafaliad Llinell Tangiad
Cwestiwn:
O ystyried cylch gyda'r hafaliad \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Penderfynwch hafaliad y llinell tangiad i'r cylch sy'n mynd trwy'r pwynt \((6, 7)\).
Trafodaeth:
Gellir canfod y tangiad i gylch gyda chanol \((h, k)\) a radiws \(r\) o bwynt allanol hysbys gan ddefnyddio'r hafaliad:
Mae'r llinell tangiad yn mynd trwy'r pwynt allanol \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Amnewidiwch y pwynt allanol \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Hafaliad y llinell tangiad yw:
\[
x + y = 9
\]
Felly, mae amrywiad hafaliad y llinell trwy bwynt llinell y cylch yn fawr iawn a gall newid yn dibynnu ar y canlyniad neu'r cynrychiolaeth weledol.
Casgliad
Mae'r drafodaeth am gylchoedd a thangiadau yn cwmpasu sawl agwedd sylfaenol ar fathemateg, o gymhwyso fformwlâu sylfaenol fel theorem Pythagoras i ddatrys hafaliadau cwadratig. Trwy'r enghreifftiau hyn, gallwn ddatblygu gwell dealltwriaeth o sut i gymhwyso'r cysyniadau hyn mewn sefyllfaoedd cymhleth. Gobeithio bod yr erthygl hon wedi helpu i roi darlun clir o sut i ymdrin â phroblemau sy'n cynnwys cylchoedd a thangiadau a'u datrys.
