Enghraifft o Gwestiynau Trafod Cyfunol
Mae cyfuniadau yn gysyniad pwysig mewn damcaniaeth tebygolrwydd ac ystadegaeth, gan ganiatáu inni gyfrif nifer y ffyrdd o ddewis gwrthrychau o set heb ystyried trefn. Mewn cyfuniadau, mae trefn y dewis yn aros yr un fath, yn wahanol i bermutadau, lle mae trefn y dewis yn allweddol. Defnyddir cyfuniadau mewn amrywiaeth eang o feysydd, o gyfrifiadureg a bioleg i economeg a mathemateg. Bydd yr erthygl hon yn egluro'r cysyniad sylfaenol o gyfuniadau ac yn darparu sawl problem a thrafodaeth enghreifftiol i gynorthwyo eich dealltwriaeth.
Cysyniad Sylfaenol Cyfuniad
Cyn i ni symud ymlaen at broblemau enghreifftiol, gadewch i ni ddechrau gyda dealltwriaeth sylfaenol o gyfuniadau.
Dynodir y cyfuniad o \(n\) gwrthrychau a gymerir \(r\) ar y tro gan y nodiant \(\binom{n}{r}\) neu \(\mathbf{C}(n, r)\). Y fformiwla ar gyfer cyfrifo'r cyfuniad yw:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \(n \) yw cyfanswm y gwrthrychau sydd ar gael.
– \(r \) yw nifer y gwrthrychau i'w dewis.
– ! (ffactoraidd) yw gweithrediad mathemategol sy'n lluosi rhif â'r holl rifau positif oddi tano hyd at 1.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1: Dewis Tîm o Grŵp o Fyfyrwyr
Cwestiwn:
Mae 10 myfyriwr mewn dosbarth. Sawl ffordd y gellir dewis 4 myfyriwr o'r dosbarth i gymryd rhan yn y gystadleuaeth?
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r fformiwla gyfuniad:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Cyfrifo ffactorial:
– \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
– \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
– Mae \( 6! \) eisoes ar y brig, felly gall ganslo'r 6! yn \(10!\).
Felly:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Felly, mae 210 ffordd o ddewis 4 myfyriwr o blith 10 myfyriwr.
Cwestiwn Enghraifft 2: Cyfuniadau Gan Ddefnyddio Setiau Cardiau
Cwestiwn:
O becyn o 52 cerdyn, faint o ffyrdd sydd i ddewis llaw pocer 5 cerdyn?
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r fformiwla gyfuniad:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Cyfrifo ffactorial:
– \( 52! = 52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \times 47! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– Mae \( 47! \) eisoes ar y brig, felly gall ganslo'r 47! yn \(52!\).
Felly:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
Felly, mae 2,598,960 o ffyrdd i ddewis 5 cerdyn o 52 cerdyn.
Cwestiwn Enghraifft 3: Cyfrifo Cyfuniadau ar gyfer Dewis Tîm Chwaraeon
Cwestiwn:
Mae tîm pêl-fasged yn cynnwys 15 chwaraewr. Os yw'r hyfforddwr eisiau dewis 5 chwaraewr fel dechreuwyr, faint o ffyrdd y gellir gwneud hyn?
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r fformiwla gyfuniad:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
Cyfrifo ffactorial:
– \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– Mae \( 10! \) eisoes ar y brig, felly gall ganslo'r 10! yn \(15!\).
Felly:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
Felly, mae 3,003 o ffyrdd i ddewis 5 chwaraewr o 15 chwaraewr.
Cwestiwn Enghraifft 4: Cyfuniadau mewn Bioleg
Cwestiwn:
Mewn gardd, mae 8 math gwahanol o flodau. Sawl ffordd y gellir dewis 3 math o flodau i wneud trefniant blodau?
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r fformiwla gyfuniad:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Cyfrifo ffactorial:
– \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \)
– \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
– Mae \( 5! \) eisoes ar y brig, felly gall ganslo'r 5! yn \(8!\).
Felly:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Felly, mae 56 ffordd i ddewis 3 math o flodau o blith 8 math o flodau.
Cwestiwn Enghraifft 5: Cyfuniad mewn Adeiladu Tîm
Cwestiwn:
Mae gennych chi 12 llyfr gwahanol ar silff lyfrau. Sawl ffordd allwch chi ddewis 5 llyfr o'r 12?
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r fformiwla gyfuniad:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Cyfrifo ffactorial:
– \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– Mae \( 7! \) eisoes ar y brig, felly gall ganslo'r 7! yn \(12!\).
Felly:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Felly, mae 792 o ffyrdd i ddewis 5 llyfr o 12 llyfr.
Casgliad
Mae cyfuniadau yn gysyniad defnyddiol iawn mewn amrywiol feysydd, yn enwedig pan fydd angen i ni wybod nifer y ffyrdd o ddewis gwrthrychau heb ystyried trefn. Gan ddefnyddio'r fformiwla gyfuniad sylfaenol \(\binom{n}{r}\), gallwn eu cyfrifo'n gyflym ac yn hawdd, cyn belled â'n bod yn deall sut mae ffactorau'n gweithio. Trwy'r enghreifftiau uchod, rydym yn gobeithio cael dealltwriaeth fwy cyflawn a chliriach o gyfuniadau. Parhewch i ymarfer gydag amrywiaeth o broblemau i gryfhau eich dealltwriaeth ymhellach.
