Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Nodweddion Ffwythiannau Cwadratig
Mae'r ffwythiant cwadratig yn bwnc pwysig mewn mathemateg sy'n aml yn cael ei wynebu yng nghwricwlwm yr ysgol uwchradd. Ffurf gyffredinol ffwythiant cwadratig yw \( f(x) = ax^2 + bx + c \), lle mae \( a \), \( b \), a \( c \) yn gysonion gyda \( a \neq 0 \). Mae'r drafodaeth ar nodweddion ffwythiannau cwadratig yn cynnwys amrywiol agweddau megis echelin cymesuredd, fertig, gwerthoedd uchaf neu isaf, a chyfeiriad y parabola. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol a'u hatebion i ddeall nodweddion ffwythiannau cwadratig yn well.
1. Cwestiwn: Pennu'r Echel Cymesuredd a'r Fertig
Enghraifft o broblemau:
O ystyried ffwythiant cwadratig \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \). Penderfynwch echelin cymesuredd a fertig y ffwythiant.
Trafodaeth:
I bennu echelin cymesuredd y ffwythiant cwadratig \( ax^2 + bx + c \), rydym yn defnyddio'r fformiwla:
[x = -\frac{b}{2a}]
Yn y ffwythiant penodol \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \), y gwerthoedd \( a = 2 \) a \( b = -4 \). Amnewidiwch y gwerthoedd hyn yn y fformiwla:
[x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \]
[x = \frac{4}{4} \]
\[x = 1 \]
Felly, echelin cymesuredd y ffwythiant yw \(x = 1 \).
I ddod o hyd i'r fertig, rydym yn amnewid gwerth yr echelin cymesuredd yn y ffwythiant:
\[ f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 \]
\[ f(1) = 2 – 4 + 1 \]
\[ f(1) = -1 \]
Felly, fertig y ffwythiant yw \( (1, -1) \).
2. Cwestiwn: Pennu Cyfeiriad Parabola
Enghraifft o broblemau:
Pennwch gyfeiriad y parabola o'r ffwythiant cwadratig \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \).
Trafodaeth:
Mae cyfeiriad parabola ffwythiant cwadratig yn cael ei bennu gan werth y cyfernod \( a \).
– Os yw \(a > 0 \), mae'r parabola yn agor i fyny.
– Os yw \( a < 0 \), mae'r parabola yn agor i lawr.
Yn y ffwythiant penodol \( f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \), y gwerth \( a = -3 \). Gan fod \( a < 0 \), mae'r parabola yn agor tuag i lawr.
3. Cwestiwn: Dod o Hyd i Wreiddiau Ffwythiant Cwadratig Enghraifft o Gwestiwn: Dod o hyd i wreiddiau'r ffwythiant cwadratig \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \).
Trafodaeth: Gellir canfod gwreiddiau ffwythiant cwadratig drwy ffactorio neu ddefnyddio'r fformiwla cwadratig. Byddwn yn ei ffactorio: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Dewch o hyd i ddau rif sydd, wrth eu lluosi, yn hafal i 6 a phan gânt eu hadio, yn hafal i -5. Y rhifau yw -2 a -3.
\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \] Felly, y gwreiddiau yw: \[ x - 2 = 0 \quad \text{neu} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{neu} \quad x = 3 \] 4. Cwestiwn: Enghraifft o Werth Uchaf neu Isaf Cwestiwn: Penderfynwch ar werth lleiaf y ffwythiant cwadratig \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \).
Trafodaeth: I bennu gwerth lleiaf y ffwythiant cwadratig \( ax^2 + bx + c \), mae angen i ni wirio a yw'r parabola yn agor i fyny neu i lawr. Os yw \(a > 0 \), mae'r parabola yn agor i fyny ac mae ganddi werth lleiaf; os yw \(a < 0 \), mae'r parabola yn agor i lawr ac mae ganddi werth mwyaf.
Yn y ffwythiant penodol \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \), mae gwerth \( a = 2 \), felly mae'r parabola yn agor i fyny ac mae ganddi werth lleiaf.
Mae'r gwerth isaf yn digwydd ar y pwynt brig. Rydym eisoes yn gwybod echelin cymesuredd (x = -b/2a). Ar gyfer y ffwythiant hwn: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{4}{4} \] \[ x = 1 \] Amnewidiwch \( x = 1 \) yn y ffwythiant i ddod o hyd i'r gwerth lleiaf: \[ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 \] \[ f(1) = 2 - 4 + 5 \] \[ f(1) = 3 \] Felly, gwerth lleiaf y ffwythiant yw 3.
5. Cwestiwn: Graff Ffwythiant Cwadratig Enghraifft Cwestiwn: Creu graff o'r ffwythiant cwadratig \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \).
Trafodaeth: I lunio graff o ffwythiant cwadratig, mae angen i ni ddod o hyd i sawl nodwedd bwysig fel echelin cymesuredd, y fertig, a gwreiddiau'r ffwythiant, yn ogystal â chyfeiriad y parabola.
1. Echel Cymesuredd: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Yn y ffwythiant \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \), y gwerthoedd \( a = -1 \) a \( b = 4 \).
[x = -\frac{4}{2(-1)}] [x = -\frac{4}{-2}] [x = 2] 2. Fertig: Amnewidiwch \( x = 2 \) yn y ffwythiant i ddod o hyd i'r fertig: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] Y fertig yw \( (2, 1) \).
3. Cyfeiriad y Parabola: Gan fod \(a = -1 \), mae'r parabola yn agor i lawr.
4. Gwreiddiau Ffwythiant Cwadratig: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] Gallwn ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ar gyfer \( a = -1 \), \( b = 4 \), a \( c = -3 \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2}{-2} \] Dau ddatrysiad: \[ x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 \] \[ x = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 \] Y gwreiddiau yw \( x = 1 \) ac \( x = 3 \).
Gyda'r holl wybodaeth hon, gallwn graffio ffwythiant cwadratig. Mae gan y parabola hon fertig yn \( (2, 1) \), yn agor tuag i lawr, gyda gwreiddiau yn \( x = 1 \) ac \( x = 3 \).
Casgliad Drwy'r enghreifftiau o gwestiynau a drafodwyd, gallwn ddeall gwahanol nodweddion ffwythiannau cwadratig yn well. Mae gwybodaeth am sut i bennu echelin cymesuredd, fertig, gwerth uchaf neu isaf, cyfeiriad y parabola, a gwreiddiau'r ffwythiant cwadratig yn bwysig iawn i ddisgrifio siâp a phriodweddau'r parabola. Bydd deall y cysyniadau hyn yn dda yn darparu sylfaen gref i fyfyrwyr archwilio pynciau pellach mewn mathemateg.
