Cwestiynau enghreifftiol yn trafod Nodweddion Ffwythiannau Cwadratig

Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Nodweddion Ffwythiannau Cwadratig

Mae'r ffwythiant cwadratig yn bwnc pwysig mewn mathemateg sy'n aml yn cael ei wynebu yng nghwricwlwm yr ysgol uwchradd. Ffurf gyffredinol ffwythiant cwadratig yw \( f(x) = ax^2 + bx + c \), lle mae \( a \), \( b \), a \( c \) yn gysonion gyda \( a \neq 0 \). Mae'r drafodaeth ar nodweddion ffwythiannau cwadratig yn cynnwys amrywiol agweddau megis echelin cymesuredd, fertig, gwerthoedd uchaf neu isaf, a chyfeiriad y parabola. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol a'u hatebion i ddeall nodweddion ffwythiannau cwadratig yn well.

1. Cwestiwn: Pennu'r Echel Cymesuredd a'r Fertig

Enghraifft o broblemau:
O ystyried ffwythiant cwadratig \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \). Penderfynwch echelin cymesuredd a fertig y ffwythiant.

Trafodaeth:
I bennu echelin cymesuredd y ffwythiant cwadratig \( ax^2 + bx + c \), rydym yn defnyddio'r fformiwla:
[x = -\frac{b}{2a}]

Yn y ffwythiant penodol \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \), y gwerthoedd \( a = 2 \) a \( b = -4 \). Amnewidiwch y gwerthoedd hyn yn y fformiwla:
[x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \]
[x = \frac{4}{4} \]
\[x = 1 \]

Felly, echelin cymesuredd y ffwythiant yw \(x = 1 \).

I ddod o hyd i'r fertig, rydym yn amnewid gwerth yr echelin cymesuredd yn y ffwythiant:
\[ f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 \]
\[ f(1) = 2 – 4 + 1 \]
\[ f(1) = -1 \]

Felly, fertig y ffwythiant yw \( (1, -1) \).

2. Cwestiwn: Pennu Cyfeiriad Parabola

Enghraifft o broblemau:
Pennwch gyfeiriad y parabola o'r ffwythiant cwadratig \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \).

Trafodaeth:
Mae cyfeiriad parabola ffwythiant cwadratig yn cael ei bennu gan werth y cyfernod \( a \).

– Os yw \(a > 0 \), mae'r parabola yn agor i fyny.
– Os yw \( a < 0 \), mae'r parabola yn agor tuag i lawr. Yn y ffwythiant penodol \( f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \), mae gwerth \( a = -3 \). Gan fod \( a < 0 \), mae'r parabola yn agor tuag i lawr. 3. Problem: Dod o Hyd i Wreiddiau Ffwythiant Cwadratig Enghraifft o Broblem: Dod o hyd i wreiddiau'r ffwythiant cwadratig \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \). Datrysiad: Gellir dod o hyd i wreiddiau ffwythiant cwadratig trwy ffactorio neu ddefnyddio'r fformiwla cwadratig. Byddwn yn ei ffactorio: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Dewch o hyd i ddau rif sy'n lluosi i roi 6 ac yn adio i roi -5. Y rhifau hyn yw -2 a -3. \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \] Felly, y gwreiddiau yw: \[ x - 2 = 0 \quad \text{neu} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{neu} \quad x = 3 \] 4. Cwestiwn: Gwerth Uchaf neu Isaf Enghraifft Cwestiwn: Penderfynwch ar werth lleiaf y ffwythiant cwadratig \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \).

Trafodaeth: I bennu gwerth lleiaf y ffwythiant cwadratig (ax^2 + bx + c), mae angen i ni wirio a yw'r parabola yn agor i fyny neu i lawr. Os yw a > 0), mae'r parabola yn agor i fyny ac mae ganddi werth lleiaf; os yw a < 0), mae'r parabola yn agor i lawr ac mae ganddi werth mwyaf. Yn y ffwythiant penodol (f(x) = 2x^2 - 4x + 5), mae gwerth a = 2 yn wir, felly mae'r parabola yn agor i fyny ac mae ganddi werth lleiaf. Mae'r gwerth lleiaf yn digwydd wrth y fertig. Rydym eisoes yn gwybod echelin cymesuredd (x = -\frac{b}{2a}). Ar gyfer y ffwythiant hwn: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{4}{4} \] \[ x = 1 \] Amnewidiwch \( x = 1 \) yn y ffwythiant i ddod o hyd i'r gwerth lleiaf: \[ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 \] \[ f(1) = 2 - 4 + 5 \] \[ f(1) = 3 \] Felly, gwerth lleiaf y ffwythiant yw 3. 5. Cwestiwn: Graffio Ffwythiannau Cwadratig Cwestiwn Enghraifft: Creu graff o'r ffwythiant cwadratig \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \). Trafodaeth: I graffio ffwythiant cwadratig, mae angen i ni ddod o hyd i sawl nodwedd bwysig fel echelin cymesuredd, y fertig, a gwreiddiau'r ffwythiant, yn ogystal â chyfeiriad y parabola. 1. Echel Cymesuredd: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Yn y ffwythiant \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \), y gwerthoedd \( a = -1 \) a \( b = 4 \). \[ x = -\frac{4}{2(-1)} \] \[ x = -\frac{4}{-2} \] \[ x = 2 \] 2. Fertig: Amnewidiwch \( x = 2 \) yn y ffwythiant i ddod o hyd i'r fertig: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] Y fertig yw \( (2, 1) \). 3. Cyfeiriad y Parabola: Gan fod \( a = -1 \), mae'r parabola yn agor tuag i lawr. 4. Gwreiddiau Ffwythiannau Cwadratig: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] Gallwn ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ar gyfer \( a = -1 \), \( b = 4 \), a \( c = -3 \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2}{-2} \] Dau ddatrysiad: \[ x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 \] \[ x = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 \] Y gwreiddiau yw \( x = 1 \) a \( x = 3 \). Gyda'r holl wybodaeth hon, gallwn graffio'r ffwythiant cwadratig. Mae gan y parabola hon fertig yn \( (2, 1) \), yn agor i lawr, ac mae ganddi wreiddiau yn \( x = 1 \) a \( x = 3 \). Casgliad Trwy'r enghreifftiau a drafodwyd, gallwn ddeall gwahanol nodweddion y ffwythiant cwadratig yn well. Mae gwybodaeth am sut i bennu echelin cymesuredd, fertig, gwerth uchaf neu isaf, cyfeiriad y parabola, a gwreiddiau'r ffwythiant cwadratig yn hanfodol i ddisgrifio siâp a phriodweddau'r parabola. Bydd dealltwriaeth dda o'r cysyniadau hyn yn darparu sylfaen gref i fyfyrwyr archwilio pynciau mwy datblygedig mewn mathemateg.