Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Sectorau Cylch
Mae sectorau cylch yn bwnc pwysig mewn mathemateg sy'n ymddangos yn aml mewn arholiadau a chwestiynau ymarfer. Sector yw'r rhan o gylch sydd wedi'i ffinio gan ddau radiws a'r arc sy'n eu cysylltu. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol ar sectorau cylch, ynghyd ag esboniadau manwl, i ddyfnhau ein dealltwriaeth.
Diffiniad o Sector Cylch
Sector cylch yw sector cylch sydd wedi'i ffinio gan ddau radiws ac un arc. Cyfrifir arwynebedd sector yn seiliedig ar gyfran o gyfanswm arwynebedd y cylch. Y prif fformiwla a ddefnyddir i gyfrifo sector yw fel a ganlyn:
– Arwynebedd Juring: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Hyd yr Arc: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Ble:
– \( \theta \) yw maint ongl y sector mewn graddau,
– \(r \) yw radiws y cylch,
– Mae \( \pi \) yn gysonyn (tua 3.14159).
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1:
O ystyried cylch gyda radiws o 10 cm a sector gydag ongl ganolog o 90°. Cyfrifwch arwynebedd y sector.
Trafodaeth:
Mae'n hysbys:
– \(r = 10 \) cm
– \( \theta = 90^\circ \)
Rydym yn defnyddio'r fformiwla ar gyfer arwynebedd sector:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Os cymerir bod π yn 3.14, yna:
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
Felly, arwynebedd y sector yw 78.5 cm².
Cwestiwn 2:
Mae gan sector cylch radiws o 7 cm a hyd arc o 11 cm. Pennwch ongl ganolog y sector mewn radianau.
Trafodaeth:
Mae'n hysbys:
– \(r = 7 \) cm
– Hyd yr arc \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Rydym yn defnyddio'r fformiwla hyd arc i ddod o hyd i'r ongl \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Gan ein bod yn cael ein gofyn i ddod o hyd i'r ongl mewn radianau, rydym yn disodli 360° gyda ∫(2π) radianau:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \theta \times 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \tua 1.57 \text{ rad}\]
Felly, ongl ganolog y sector yw 1.57 radian.
Cwestiwn 3:
Mae gan gylch gyda radiws o 16 cm sector gydag arwynebedd o 200 cm². Cyfrifwch ongl ganolog y sector.
Trafodaeth:
Mae'n hysbys:
– \(r = 16 \) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Rydym yn defnyddio'r fformiwla arwynebedd ar gyfer sector i ddod o hyd i \( \theta \):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \times 360^\circ = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \tua 89.45^\circ\]
Felly, mae ongl ganolog y sector tua 89.45°.
Cwestiwn 4:
Cyfrifwch gylchedd cyfan sector sydd â radiws o 12 cm ac ongl ganolog o 120°.
Trafodaeth:
Mae'n hysbys:
– \(r = 12 \) cm
– \( \theta = 120^\circ \)
Yn gyntaf, rydym yn darganfod hyd yr arc:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ cm}\]
Yna, rydym yn cyfrifo cylchedd y sector (hyd yr arc + dau radiws):
\[K = 2r + P_b\]
[K = 2 × 12 cm + 8 pi cm]
\[K = 24\text{cm} + 8\pi\text{cm}\]
Os cymerir bod π yn 3.14, yna:
\[K = 24\text{ cm} + 8 \times 3.14\text{ cm}\]
\[K = 24\text{ cm} + 25.12\text{ cm}\]
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Felly, cylchedd cyfanswm y sector yw 49.12 cm.
Cwestiwn 5:
Os oes gan gylch â radiws o 18 cm sector sy'n gwneud ongl o 45°, pennwch hyd yr arc ac arwynebedd y sector.
Trafodaeth:
Mae'n hysbys:
– \(r = 18 \) cm
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Hyd yr Arc:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ cm}\]
Os cymerir bod π yn 3.14, yna:
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ cm} \approx 14.13\text{ cm}\]
Felly, mae hyd yr arc tua 14.13 cm.
2. Ardal y Sector:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Os cymerir bod π yn 3.14, yna:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ cm}^2 \approx 127.17\text{ cm}^2\]
Felly, mae arwynebedd y sector tua 127.17 cm².
Casgliad
Yn yr erthygl hon, rydym wedi trafod sawl problem enghreifftiol ynghylch sectorau cylch a'u datrysiadau. Hanfod deall sectorau cylch yw meistroli'r fformwlâu sylfaenol ar gyfer cyfrifo arwynebedd sector a hyd arc. Gobeithio y bydd ymarfer mynych a deall sut i gymhwyso'r fformwlâu hyn i wahanol fathau o broblemau yn helpu i wella'ch gallu i ddatrys problemau tebyg.
