Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod y Berthynas Rhwng Hyd yr Arc ac Arwynebedd y Sector
Mewn gwersi geometreg, yn enwedig wrth astudio cylchoedd, rydym yn aml yn dod ar draws y cysyniadau hyd arc ac arwynebedd sector. Mae'r ddau gysyniad hyn yn hanfodol ar gyfer deall amrywiol ffenomenau geometrig sy'n cynnwys cylchoedd. Gadewch i ni egluro'r ddau gysyniad hyn yn gyntaf cyn darparu problemau enghreifftiol a'u datrysiadau.
Hyd yr Arc
Hyd yr arc yw'r pellter ar hyd yr arc rhwng dau bwynt ar gylch. I gyfrifo hyd arc cylch, fel arfer mae angen radiws y cylch (r) a'r ongl ganolog (θ) y mae'r arc yn is-deithio drwyddo mewn radianau. Gellir ysgrifennu'r fformiwla ar gyfer cyfrifo hyd yr arc (s) fel a ganlyn:
\[ s = r \times \theta \]
Os rhoddir yr ongl ganolog mewn graddau, rhaid inni ei throsi'n radianau yn gyntaf trwy:
\[ \theta_{radianau} = \theta_{graddau} \times \frac{\pi}{180} \]
Ardal y Sector
Mae sector yn rhan o gylch sydd wedi'i ffinio gan ddau radiws a'r arc rhyngddynt. I gyfrifo arwynebedd sector, rydym yn defnyddio radiws y cylch (r) a'r ongl ganolog (θ). Y fformiwla ar gyfer cyfrifo arwynebedd sector (A) yw:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
Fel gyda hyd arc, os yw'r ongl ganolog yn cael ei mesur mewn graddau, rhaid inni ei throsi'n radianau yn gyntaf.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
I egluro'r cysyniad o hyd arc ac arwynebedd sector, gadewch inni adolygu'r cwestiynau enghreifftiol canlynol a'u trafodaethau.
Cwestiwn 1:
O ystyried cylch â radiws o 10 cm ac ongl ganolog o 60 gradd, cyfrifwch hyd yr arc ac arwynebedd y sector a ffurfir gan yr ongl.
Trafodaeth:
1. Cyfrifo Hyd yr Arc:
– Yn gyntaf, rydym yn trosi'r ongl o raddau i radianau:
[\theta = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \text{radian} \]
– Gan ddefnyddio'r fformiwla hyd arc:
\[ s = r \times \theta \]
\[ s = 10 \times \frac{\pi}{3} \]
[s = \frac{10\pi}{3} \, \text{cm} \]
2. Cyfrifo Arwynebedd Sector:
– Gan ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer arwynebedd sector:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\pi}{3} \]
[A = \frac{100\pi}{6} \]
[A = \frac{50\pi}{3} \, \text{cm}^2 \]
Felly, hyd yr arc yw 10 pi/3 cm, ac arwynebedd y sector yw 50 pi/3 cm².
Cwestiwn 2:
Mae gan gylch radiws o 7 cm ac ongl ganolog wedi'i hatal gan arc o 2 radian. Pennwch hyd yr arc ac arwynebedd sector y cylch.
Trafodaeth:
1. Cyfrifo Hyd yr Arc:
– Mae'r ongl ganolog eisoes mewn radianau, felly gallwn ddefnyddio'r fformiwla hyd arc yn uniongyrchol:
\[ s = r \times \theta \]
\[ s = 7 \times 2 \]
\[ s = 14 \, \text{cm} \]
2. Cyfrifo Arwynebedd Sector:
– Gan ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer arwynebedd sector:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 7^2 \times 2 \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 49 \times 2 \]
\[ A = 49 \, \text{cm}^2 \]
Felly, hyd yr arc yw 14 cm, ac arwynebedd y sector yw 49 cm².
Cwestiwn 3:
Mae gan gylch â radiws o 12 cm sector sydd â hyd arc o 15\(\pi\) cm. Pennwch yr ongl ganolog mewn graddau ac arwynebedd y sector.
Trafodaeth:
1. Pennu'r Ongl Ganolog:
– Gan ddefnyddio'r fformiwla hyd arc i ddod o hyd i'r ongl ganolog:
\[ s = r \times \theta \]
[15π = 12 gwaith θ]
[\theta = \frac{15\pi}{12} \]
\[ \theta = \frac{5\pi}{4} \, \text{radian} \]
– Trosi ongl ganolog i raddau:
[\theta = \frac{5π}{4} \times \frac{180π}{π} \]
\[ \theta = \frac{5 \times 180}{4} \]
\[ \theta = 225 \, \text{graddau} \]
2. Cyfrifo Arwynebedd Sector:
– Gan ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer arwynebedd sector:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{5π}{4} \]
[A = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5π}{4} \]
\[ A = 72 \times \frac{5\pi}{4} \]
[A = 90\pi \, \text{cm}^2 \]
Felly, mae ongl ganolog y sector yn 225 gradd, ac arwynebedd y sector yw 90\(\pi\) cm².
Casgliad
Mae deall y berthynas rhwng hyd arc ac arwynebedd sector yn gofyn am ddealltwriaeth drylwyr o egwyddorion sylfaenol cylchoedd a'r defnydd cywir o fformwlâu. Trwy'r problemau ymarfer uchod, gallwn weld pwysigrwydd meistroli trosiadau onglau a chymhwyso fformwlâu'n uniongyrchol yng nghyd-destun geometreg gylchol. Mae pob cam yn y drafodaeth am y broblem yn ein helpu i ddeall sut mae'r fformwlâu'n gweithio a sut i'w cymhwyso'n effeithiol.
Drwy barhau i ymarfer a deall y pethau sylfaenol sydd wedi'u hesbonio, byddwn yn dod yn fwy hyfedr wrth ddatrys problemau sy'n cynnwys hyd arc ac arwynebedd sector, a bydd hyn yn ddefnyddiol iawn mewn amrywiol gymwysiadau mathemategol a gwyddonol eraill.
