Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Swyddogaethau Chwistrelliadol, Gorchwyliadol, a Chwistrelliadol
Mae diffiniad ffwythiant a'i ddefnyddioldeb mewn mathemateg yn aml yn bwnc trafod diddorol. Yn y cyd-destun hwn, rydym yn aml yn dod ar draws termau fel ffwythiannau chwistrellol, swrthrychol, a chyfryngol. Mae deall y tri math hyn o ffwythiannau yn hanfodol ar gyfer dadansoddi mathemategol a'u cymwysiadau ymarferol mewn amrywiol feysydd fel cyfrifiadureg, economeg, a ffiseg.
Deall Swyddogaethau Chwistrelliadol, Gorchwyliadol, a Chwistrelliadol
Cyn trafod cwestiynau enghreifftiol a'u trafodaeth, gadewch inni gofio diffiniadau'r tair swyddogaeth yn gyntaf.
1. Ffwythiant Chwistrelliadol (Ffwythiant Un-i-Un): Gelwir ffwythiant f : A → B yn chwistrelliadol os, ar gyfer pob a1 ac a2 yn y parth A, os yw f(a1) = f(a2), yna rhaid i a1 fod yn hafal i a2. Mewn geiriau eraill, mae ffwythiant chwistrelliadol yn sicrhau bod elfennau gwahanol yn y parth A yn cael eu mapio i elfennau gwahanol yn y cyd-barth B.
2. Ffwythiant Gorchwyliadol (Onto Function): Gelwir ffwythiant f : A → B yn orchwyliadol os oes gan bob elfen yn y codarth B o leiaf un elfen yn y parth A sydd wedi'i mapio iddi. Yn yr achos hwn, nid oes gan y codarth B unrhyw elfennau "gwag" nac unrhyw gymheiriaid o'r parth A.
3. Ffwythiant Beiectif (Cyfatebiaeth Un-i-Un): Gelwir ffwythiant f : A → B yn beiectif os yw'n chwistrellol ac yn swrectif. Mae hyn yn golygu bod gan bob elfen ym mharth A gyfatebwr unigryw ym mharth cod B, ac mae gan bob elfen ym mharth cod B gyfatebwr unigryw ym mharth A hefyd.
Cwestiynau a Thrafodaethau Enghreifftiol
Cwestiwn 1: Swyddogaeth Chwistrelliadol
Cwestiwn:
O ystyried ffwythiant f : ℝ → ℝ sydd wedi'i ddiffinio fel f(x) = 2x + 3. Profwch fod y ffwythiant hwn yn ffwythiant chwistrellol.
Trafodaeth:
I brofi bod y ffwythiant hwn yn chwistrellol, mae angen i ni ddangos os yw f(a) = f(b) yna mae a = b.
Tybiwch fod f(a) = f(b), dywedwn fod:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
Tynnwch 3 o'r ddwy ochr:
\[ 2a = 2b \]
Rhannwch â 2 ar y ddwy ochr:
\[ a = b \]
Gan ein bod wedi dangos bod f(a) = f(b) yn achosi a = b, yna mae'r ffwythiant f(x) = 2x + 3 yn ffwythiant chwistrellol.
Cwestiwn 2: Swyddogaeth Ddychmygol
Cwestiwn:
O ystyried ffwythiant g : ℝ → ℝ sydd wedi'i ddiffinio fel g(x) = x^3. Profwch fod y ffwythiant hwn yn ffwythiant gorchwyliadol.
Trafodaeth:
I brofi bod y ffwythiant hwn yn swrgethiol, mae angen i ni ddangos, ar gyfer pob elfen y yn y cyd-barth ℝ, fod o leiaf un elfen x yn y parth ℝ fel bod g(x) = y.
Gadewch i y ∈ ℝ. Rydym am ddod o hyd i x fel bod:
\[ x^3 = y \]
Cymerwch (x = \sqrt[3]{y}):
[g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
Gan fod pob y yn y codaon ℝ yn dod o hyd i x sydd yn \( x = \sqrt[3]{y} \), yna mae'r ffwythiant g(x) = x^3 yn ffwythiant gorchwyliadol.
Cwestiwn 3: Swyddogaethau Beiectif
Cwestiwn:
O ystyried ffwythiant h : ℝ → ℝ sydd wedi'i ddiffinio fel h(x) = x – 1. Profwch fod y ffwythiant hwn yn ddwyffordd.
Trafodaeth:
Chwistrelladwy:
I brofi bod h(x) yn chwistrellol, mae angen i ni ddangos os yw h(a) = h(b) yna a = b.
Gadewch i h(a) = h(b):
\[ a – 1 = b – 1 \]
Ychwanegwch 1 ar y ddwy ochr:
\[ a = b \]
Gan fod h(a) = h(b) yn achosi a = b, yna mae'r ffwythiant h(x) = x – 1 yn ffwythiant chwistrellol.
Gwiriad:
I brofi bod h(x) yn swrgethiol, mae angen i ni ddangos, ar gyfer pob elfen y yn y cyd-barth ℝ, fod o leiaf un elfen x yn y parth ℝ fel bod h(x) = y.
Gadewch i y ∈ ℝ. Rydym am ddod o hyd i x fel bod:
\[ x – 1 = y \]
Ychwanegwch 1 ar y ddwy ochr:
\[ x = y + 1 \]
Gan fod pob y yn y codaon ℝ yn gallu dod o hyd i x fel bod x = y + 1, yna mae'r ffwythiant h(x) = x – 1 yn ffwythiant gorchwyliadol.
Gan fod h(x) yn chwistrellol ac yn swrgedol, yna mae h(x) yn ffwythiant gwrgedol.
Cwestiwn 4: Penderfynu ar y Math o Swyddogaeth
Cwestiwn:
O ystyried ffwythiant f : ℕ → ℕ wedi'i ddiffinio fel f(x) = 2x. Penderfynwch a yw f yn ffwythiant chwistrellol, swrthrychol, neu ddwysrychol.
Trafodaeth:
Chwistrelladwy:
I brofi bod y ffwythiant hwn yn chwistrellol, mae angen i ni ddangos os yw f(a) = f(b) yna mae a = b.
Tybiwch fod f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
Rhannwch â 2 ar y ddwy ochr:
\[ a = b \]
Felly, mae f(x) = 2x yn ffwythiant chwistrellol.
Gwiriad:
I brofi bod y ffwythiant hwn yn swrectif, mae angen i ni ddangos, ar gyfer pob elfen y yn y codaon ℕ, fod o leiaf un elfen x yn y parth ℕ fel bod f(x) = y.
Ond nodwch fod y codaon yn ℕ (y rhifau naturiol), tra bod f(x) = 2x yn cynhyrchu eilrifau yn unig. Tybiwch fod y yn odrif, nid oes x yn ℕ fel bod 2x = y.
Felly, nid yw f(x) = 2x yn ffwythiant swrthrychol.
Gan nad yw f(x) yn swrgethiol, yna nid yw f(x) yn swrgethiol chwaith.
Yn seiliedig ar yr enghreifftiau amrywiol uchod, gallwn weld sut i brofi ac adnabod y mathau o ffwythiannau (chwistrelliadol, swrthiol, wrthiol) o wahanol ddiffiniadau ffwythiannau. Mae deall y ffwythiannau hyn yn hanfodol mewn sawl agwedd ar fathemateg a'i chymwysiadau bywyd go iawn.
