Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Cyfresi Geometreg Anfeidraidd
Cyfres geometrig anfeidraidd yw cyfres sy'n cynnwys nifer anfeidraidd o dermau mewn dilyniant geometrig. Mae gan y cyfresi hyn ofynion penodol er mwyn i'w swm (neu derfyn) fod yn gyfrifadwy. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod y cysyniad sylfaenol o gyfresi geometrig anfeidraidd, y gofynion ar gyfer eu llunio, a sawl problem enghreifftiol a'u datrysiadau.
Cysyniad Sylfaenol Cyfres Geometreg Anfeidraidd
Yn ei hanfod, mae cyfres geometrig yn ddilyniant o rifau lle mae pob term ar ôl y cyntaf yn cael ei gael trwy luosi'r term blaenorol â chysonyn o'r enw'r gymhareb gyffredin (r). Tybiwch fod gennym gyfres geometrig:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Ar gyfer cyfres geometrig anfeidraidd, rydym yn ystyried swm yr holl dermau yn y gyfres. Diffinnir swm y gyfres hon fel:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Mae swm cyfres geometrig anfeidraidd yn cydgyfeirio (mae ganddo werth pendant) os a dim ond os yw gwerth y gymhareb \( |r| < 1 \). Os \( |r| \geq 1 \), yna mae'r gyfres yn dargyfeirio ac nid oes ganddi swm pendant (mae'n mynd i anfeidredd). Os \( |r| < 1 \), gellir diffinio swm S cyfres geometrig anfeidraidd fel: \[ S = \frac{a}{1-r} \] lle mae: - \( S \) yn swm y gyfres, - \( a \) yw'r term cyntaf, - \( r \) yw'r gymhareb gyffredin. Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth Cwestiwn Enghreifftiol 1 Cwestiwn: Dewch o hyd i swm y gyfres geometrig anfeidraidd ar gyfer y gyfres ganlynol: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Trafodaeth: Gadewch inni nodi elfennau pwysig y gyfres: Y term cyntaf \( a = 3 \) Gellir canfod y gymhareb \( r \) trwy rannu'r ail derm â'r term cyntaf, hynny yw: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Gan fod \( |r| = 0.5 < 1 \), mae'r gyfres hon yn cydgyfeirio a gallwn gyfrifo swm y gyfres anfeidraidd. Defnyddiwch y fformiwla ar gyfer swm cyfres geometrig anfeidraidd: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Felly, swm y gyfres geometrig anfeidraidd yw 6. Cwestiwn Enghraifft 2 Cwestiwn: Dewch o hyd i swm cyfres geometrig anfeidraidd gyda'r term cyntaf 8 a'r gymhareb \( r = -\frac{1}{3} \). Datrysiad: Term cyntaf \( a = 8 \) Cymhareb \( r = -\frac{1}{3} \) Gan fod \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), mae'r gyfres hon yn cydgyfeirio a gallwn gyfrifo swm y gyfres anfeidraidd. Defnyddiwch y fformiwla ar gyfer swm cyfres geometrig anfeidraidd: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Felly, swm y gyfres geometrig anfeidraidd yw 6. Cwestiwn Enghraifft 3 Cwestiwn: A oes gan y gyfres ganlynol swm anfeidraidd? Os felly, dewch o hyd i'r swm. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Trafodaeth: Y term cyntaf \( a = 5 \) Gellir canfod y gymhareb \( r \) trwy rannu'r ail derm â'r term cyntaf, hynny yw: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Gan fod \( |r| = 0.5 < 1 \), mae'r gyfres hon yn cydgyfeirio a gallwn gyfrifo swm y gyfres anfeidraidd. Defnyddiwch y fformiwla ar gyfer swm cyfres geometrig anfeidraidd: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Felly, swm y gyfres geometrig anfeidraidd yw 10. Cwestiwn Enghraifft 4 Cwestiwn: Penderfynwch a yw'r gyfres ganlynol yn gydgyfeiriol neu'n ddargyfeiriol: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Datrysiad: Y term cyntaf \( a = 4 \) Gellir canfod y gymhareb \( r \) trwy rannu'r ail derm â'r term cyntaf, sef: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Gan fod \( |r| = 1.5 > 1 \), mae'r gyfres hon yn ddargyfeiriol ac nid oes ganddi swm pendant.
Felly, mae'r gyfres yn wahanol.
Cwestiwn Enghraifft 5
Cwestiwn: Tybiwch fod gennych y gyfres anfeidraidd ganlynol:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Penderfynwch swm y gyfres.
Trafodaeth:
Term cyntaf \( a = \frac{1}{2} \)
Gellir canfod y gymhareb \(r \) drwy rannu'r ail derm â'r term cyntaf, hynny yw:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Gan fod \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), mae'r gyfres hon yn cydgyfeirio a gallwn gyfrifo swm y gyfres anfeidraidd. Defnyddiwch y fformiwla ar gyfer swm cyfres geometrig anfeidraidd: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Felly, swm y gyfres geometrig anfeidraidd yw 1. Casgliad Mae cyfres geometrig anfeidraidd yn gysyniad mathemategol pwysig sydd â chymwysiadau eang mewn amrywiol feysydd. I bennu swm cyfres geometrig anfeidraidd, rhaid inni sicrhau bod y gymhareb \( |r| < 1 \). Felly, gellir cyfrifo swm y gyfres gan ddefnyddio fformiwla syml a uniongyrchol. O'r problemau enghreifftiol uchod, gallwn weld bod y dechneg hon yn ei gwneud hi'n hawdd iawn datrys problemau sy'n cynnwys cyfresi geometrig anfeidraidd.
