Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Diffiniad Cylch
Mae'r cylch yn un o'r siapiau geometrig sylfaenol rydyn ni'n dod ar eu traws yn aml ym mywyd beunyddiol. Mewn mathemateg, mae gan gylchoedd ddiffiniadau a nodweddion unigryw. Bydd yr erthygl hon yn archwilio diffiniad cylch a'i elfennau cysylltiedig yn fanwl, yn ogystal â darparu sawl problem enghreifftiol a'u hatebion i ddyfnhau ein dealltwriaeth o gylchoedd.
Diffiniad o Gylch
Cylch yw set o'r holl bwyntiau mewn plân sydd yr un pellter o bwynt sefydlog o'r enw canol y cylch. Gelwir y pellter rhwng y canol ac unrhyw bwynt ar y cylch yn radiws y cylch. Rhoddir hafaliad cyffredinol cylch gyda chanol yn y pwynt \((h, k)\) a radiws \(r\) gan:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Yno:
– \((h, k)\) yw cyfesurynnau canol y cylch,
– \(r\) yw radiws y cylch,
– \(x\) ac \(y\) yw cyfesurynnau unrhyw bwynt ar y cylch.
Elfennau Cylch
Cyn i ni fynd i mewn i'r cwestiynau enghreifftiol, mae'n syniad da gwybod rhai o'r elfennau pwysig yn y cylch:
1. Canol Cylch: Pwynt sefydlog sy'n ganolbwynt i bob pwynt sydd yr un pellter oddi wrth ei gilydd.
2. Radiws (r): Y pellter o ganol y cylch i unrhyw bwynt ar y cylch.
3. Diamedr (d): Llinell syth sy'n mynd trwy ganol y cylch ac yn cysylltu dau bwynt ar y cylch, sydd â hyd ddwywaith y radiws (\(d = 2r\)).
4. Arc: Y rhan o gylchedd cylch sy'n gorwedd rhwng dau bwynt ar y cylch.
5. Cord: Llinell syth sy'n cysylltu dau bwynt ar gylch ond nad yw'n mynd trwy'r canol.
6. Apothem: Y pellter byrraf o ganol cylch i gord.
7. Ongl Ganolog: Yr ongl a ffurfir gan ddau radiws o ganol y cylch.
8. Ongl Perimedr: Yr ongl a ffurfir gan ddau gord sy'n croestorri mewn un pwynt ar gylch.
Cwestiynau a Thrafodaethau Enghreifftiol
Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn: O ystyried cylch gyda chanolbwynt yn y pwynt \((3, 4)\) ac yn mynd trwy'r pwynt \((7, 4)\). Penderfynwch hafaliad y cylch.
Trafodaeth:
I ddod o hyd i hafaliad cylch, mae angen i ni wybod ei radiws yn gyntaf. Gan fod y cylch yn mynd trwy'r pwynt \((7, 4)\), gallwn gyfrifo'r pellter rhwng y pwynt hwn a chanol y cylch, sef \((3, 4)\).
\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = \sqrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
r = 4
\]
Gyda'r canol yn \((3, 4)\) a'r radiws yn 4, hafaliad y cylch yw:
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Cwestiwn Enghraifft 2
Cwestiwn: Pennwch arwynebedd a chylchedd cylch gyda radiws o 5 cm.
Trafodaeth:
– Gellir cyfrifo arwynebedd cylch (A) gan ddefnyddio'r fformiwla \(A = \pi r^2\),
\[
A = π × 5^2
\]
\[
A = 25\pi \text{ cm}^2
\]
Os yw π yn tua 3.14, yna:
\[
A \tua 25 \times 3.14 = 78.5 \text{ cm}^2
\]
– Gellir cyfrifo cylchedd cylch (C) gan ddefnyddio'r fformiwla \(C = 2\pi r\),
\[
C = 2 \times \pi \times 5
\]
\[
C = 10\pi \text{ cm}
\]
Os yw π yn tua 3.14, yna:
\[
C \tua 10 \times 3.14 = 31.4 \text{ cm}
\]
Cwestiwn Enghraifft 3
Cwestiwn: Mae gan gylch ganolbwynt yn y pwynt O a radiws o 7 cm. Os llunir cord o hyd 10 cm ar y cylch, pennwch y pellter byrraf o'r canolbwynt O i'r cord.
Trafodaeth:
I ddod o hyd i'r pellter byrraf o'r canol i'r cord, rydym yn defnyddio'r cysyniad o apothem, sef y pellter byrraf o'r canol i'r cord. Gyda radiws o 7 cm a hyd cord o 10 cm, gallwn fynd at y broblem hon gan ddefnyddio'r triongl sgwâr a ffurfiwyd.
Os yw canolbwynt y cord yn bwynt C, yna OC yw'r apothem rydyn ni'n chwilio amdano. Os yw A a B yn bwyntiau terfyn y cord, yna mae AC a BC yr un yn 5 cm (hanner o 10 cm).
O driongl OAC sydd ag ongl sgwâr yn C, rydym yn defnyddio theorem Pythagoras:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}
\]
Cwestiwn Enghraifft 4
Cwestiwn: O ystyried cylch gyda'r hafaliad \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\). Penderfynwch ganol a radiws y cylch.
Trafodaeth:
I ddod o hyd i'r canol a'r radiws, rydym yn trawsnewid yr hafaliad i'r ffurf safonol:
\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]
Rydym yn datrys trwy berffeithio'r ffurf cwadratig:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
Adio a thynnu (6/2)\(^2\) i'r term-x a (8/2)\(^2\) i'r term-y:
\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
O'r hafaliad \((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\), rydym yn canfod bod canol y cylch yn \((-3, 4)\) a'r radiws yn \(r = \sqrt{16} = 4\).
Casgliad
Mae'r cylch yn gysyniad sylfaenol a hanfodol mewn geometreg. Drwy'r problemau enghreifftiol a'r trafodaethau uchod, gallwn gael dealltwriaeth ddyfnach o wahanol agweddau a phriodweddau cylchoedd. Bydd meistroli'r pwnc hwn yn ei gwneud hi'n haws deall a datrys problemau geometreg mwy cymhleth.
