Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Rhifau Cymhleth
Mae rhifau cymhleth yn bwnc cyffredin mewn mathemateg ar lefelau ysgol uwchradd a choleg. Mae rhifau cymhleth yn cynnwys dwy ran: rhan real a rhan ddychmygol. Gan ddefnyddio nodiant confensiynol, ysgrifennir rhif cymhleth fel \(z = a + bi \), lle mae \(a \) a \(b \) yn rhifau real, ac \(i \) yw'r uned ddychmygol gyda'r priodwedd \(i^2 = -1 \). Bydd yr erthygl hon yn ymdrin â sawl enghraifft a'u trafodaeth ynghylch rhifau cymhleth, o weithrediadau sylfaenol i gymwysiadau wrth ddatrys problemau.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
1. Adio a Thynnu Rhifau Cymhleth
Cwestiwn 1
Gadewch \( z_1 = 3 + 4i \) a \( z_2 = 1 – 2i \). Cyfrifwch \( z_1 + z_2 \) a \( z_1 – z_2 \).
Trafodaeth
I adio neu dynnu rhifau cymhleth, rydym yn syml yn gweithredu'r rhan real gyda'r rhan real a'r rhan ddychmygol gyda'r rhan ddychmygol.
Ychwanegiad:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Tynnu:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Felly, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) a \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Lluosi Rhifau Cymhleth
Cwestiwn 2
Cyfrifwch luoswm \( z_1 = 2 + 3i \) gan \( z_2 = 4 – i \).
Trafodaeth
I luosi dau rif cymhlyg, rydym yn defnyddio priodwedd ddosbarthol algebra:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Rydym yn lluosi pob cydran:
\[
2 ≤ 4 + 2 ≤ (-i) + 3i ≤ 4 + 3i ≤ (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Gan fod \( i^2 = -1 \), yna:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Felly, y lluoswm \(z_1 \cdot z_2 \) yw \(11 + 10i \).
3. Rhannu Rhifau Cymhleth
Cwestiwn 3
Cyfrifwch gymhareb \( z_1 = 3 + 4i \) gan \( z_2 = 1 – i \).
Trafodaeth
I rannu rhif cymhlyg, rydym yn lluosi'r rhifiadur a'r enwadur â chyfuniad enwadur y rhif cymhlyg. Cyfuniad \( 1 – i \) yw \( 1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Gadewch i ni gyfrifo'r enwadur yn gyntaf:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Nawr rydym yn cyfrifo'r rhifiadur:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Felly, y canlyniad yw:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modwlws a Dadleuon Rhifau Cymhleth
Cwestiwn 4
Pennwch y modwlws a'r ddadl o \( z = 1 + i \).
Trafodaeth
Modwlws y rhif cymhlyg \(z = a + bi \) yw:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Ar gyfer \(z = 1 + i \), mae gennym \(a = 1 \) a \(b = 1 \):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Dadl rhif cymhlyg yw'r ongl \( \theta \) a ffurfiwyd gyda'r echelin real bositif, wedi'i mesur o'r tarddiad tuag at y pwynt \( (a, b) \).
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Felly, modwlws \( z = 1 + i \) yw \( \sqrt{2} \) a'r ddadl yw \( \frac{\pi}{4} \).
5. Ffurf Esbonyddol a Phatrwm Euler
Cwestiwn 5
Troswch y rhif cymhlyg \(z = 1 + i \) i ffurf esbonyddol.
Trafodaeth
Ffurf esbonyddol rhifau cymhlyg gan ddefnyddio fformiwla Euler:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Lle mae r yn dynodi'r modwlws a heta yw'r ddadl. O'r drafodaeth flaenorol, gwyddom fod:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Felly, y ffurf esbonyddol yw:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Gwreiddiau Rhifau Cymhleth
Cwestiwn 6
Dewch o hyd i wreiddiau sgwâr y rhif cymhlyg \(z = -1 \).
Trafodaeth
Gellir dod o hyd i wreiddiau sgwâr rhifau cymhlyg gan ddefnyddio ffurf begynol neu esbonyddol. Rydym yn trosi \(z = -1 \) i ffurf esbonyddol:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Gellir ysgrifennu gwreiddyn sgwâr \( e^{i\pi} \) fel:
\[
z_k = ∫sqrt{r} ⋅ e^{i(θ + 2kπ)/n}
\]
Gyda r = 1), heta = π), n = 2), a k = 0, 1:
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Felly, gwreiddiau sgwâr \(-1 \) yw \(i \) a \(-i \).
7. Cymwysiadau mewn Hafaliadau Cwadratig
Cwestiwn 7
Datryswch yr hafaliad cwadratig (z² + 4z + 13 = 0).
Trafodaeth
Gallwn ddefnyddio'r fformiwla cwadratig:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Ar gyfer yr hafaliad \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Felly, atebion \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) yw \( z = -2 + 3i \) a \( z = -2 – 3i \).
Casgliad
Mae rhifau cymhleth yn gysyniad mathemategol eang iawn gyda nifer o gymwysiadau. Drwy ddeall gweithrediadau sylfaenol fel adio, tynnu, lluosi a rhannu, yn ogystal â sut i gyfrifo modwlws a dadl, gallwn ddatrys amrywiol broblemau sy'n cynnwys rhifau cymhleth. Gobeithio y bydd yr enghreifftiau uchod yn eich helpu i ddeall a meistroli'r pwnc hwn yn well.
