Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Dilyniannau a Chyfresi
Mae dilyniannau a chyfresi yn gysyniadau sylfaenol mewn mathemateg, a geir yn aml o'r ysgol elfennol hyd at y coleg. Casgliad o rifau wedi'u trefnu yn ôl rheol benodol yw dilyniant, tra bod cyfres yn swm termau'r dilyniant hwnnw. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol ac yn trafod dilyniannau a chyfresi.
Enghraifft 1: Dilyniant Rhifyddeg
Cwestiwn:
O ystyried dilyniant rhifyddol gyda'r term cyntaf (a) = 3 a'r gwahaniaeth (d) = 5. Penderfynwch:
1. Y 10fed term yn y dilyniant.
2. Swm yr 20 term cyntaf yn y dilyniant.
Trafodaeth:
1. 10ed tymor
Y fformiwla ar gyfer yr nfed term mewn dilyniant rhifyddol yw:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Ar gyfer y 10fed tymor (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) ≥ 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Swm yr 20 Term Cyntaf
Y fformiwla ar gyfer swm yr n term cyntaf (S_n) o ddilyniant rhifyddol yw:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Ar gyfer swm yr 20 term cyntaf (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Enghraifft 2: Cyfres Geometreg
Cwestiwn:
O ystyried dilyniant geometrig gyda'r term cyntaf (a) = 4 a'r gymhareb (r) = 2. Penderfynwch:
1. Y 6fed term yn y dilyniant.
2. Swm yr 8 term cyntaf yn y dilyniant.
Trafodaeth:
1. 6ed tymor
Y fformiwla ar gyfer yr nfed term mewn dilyniant geometrig yw:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
Ar gyfer y 6fed tymor (U_6):
\[
U_{6} = 4 ⋅ 2^{(6-1)} = 4 ⋅ 2^5 = 4 ⋅ 32 = 128
\]
2. Swm yr 8 Term Cyntaf
Y fformiwla ar gyfer swm yr n term cyntaf (S_n) o ddilyniant geometrig yw:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Ar gyfer swm yr 8 term cyntaf (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Enghraifft 3: Cyfres Geometreg Anfeidraidd Cydgyfeiriol
Cwestiwn:
O ystyried cyfres geometrig gyda'r term cyntaf (a) = 1 a'r gymhareb (r) = 1/2. Pennwch swm y gyfres anfeidraidd.
Trafodaeth:
Y fformiwla ar gyfer swm cyfres anfeidraidd (S_∞) o gyfres geometrig gydgyfeiriol yw:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Felly ar gyfer y gyfres hon:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Enghraifft 4: Dilyniannau a Chyfresi o Rifau Sgwâr
Cwestiwn:
O ystyried dilyniant o rifau sgwâr gyda'r term cyntaf (U_1) = 1, yr ail derm (U_2) = 4, a'r trydydd term (U_3) = 9. Penderfynwch ar 5ed term y dilyniant. Ai dilyniant rhifyddol neu geometrig yw'r dilyniant hwn? Eglurwch.
Trafodaeth:
1. 5ed tymor
Dyma batrwm dilyniant o rifau sgwâr:
\[
U_n = n^2
\]
Ar gyfer y 5fed tymor (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Math o Linell
I wirio a yw'r dilyniant hwn yn rhifyddeg neu'n geometrig, gwiriwch y gwahaniaeth rhwng y termau (y gwahaniaeth cyffredin) a'r gymhareb rhwng y termau:
– Gwahaniaeth rhwng termau (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Gan nad yw'r gwahaniaeth yn gyson, nid yw'r dilyniant hwn yn rhifyddeg.
– Cymhareb rhyng-lwythau (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Gan nad yw'r gymhareb rhwng termau yn gyson, nid yw'r dilyniant hwn yn geometrig.
Felly, nid yw'r dilyniant hwn o rifau sgwâr yn ddilyniant rhifyddol nac yn ddilyniant geometrig, ond yn hytrach yn ddilyniant arbennig sy'n dilyn patrwm y rhifau sgwâr.
Enghraifft 5: Cyfres Rhifyddeg Anfeidraidd
Cwestiwn:
A yw'n bosibl cyfrifo swm cyfres rifyddol anfeidraidd? Os felly, rhowch enghraifft. Os na, esboniwch pam.
Trafodaeth:
Yn wahanol i gyfresi geometrig, nid oes gan gyfresi rhifyddeg anfeidraidd swm meidraidd fel arfer. Mae hyn oherwydd bod pob term yn cynyddu neu'n lleihau'n llinol, felly mae'r swm yn parhau i dyfu am gyfnod amhenodol.
Er enghraifft, ystyriwch gyfres rifyddol anfeidraidd gyda'r term cyntaf o 1 a'r gwahaniaeth cyffredin o 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Os ceisiwn eu symio, mae'n dod yn amlwg na fydd y gyfres yn cydgyfeirio i werth sefydlog, ond y bydd yn agosáu at anfeidredd. Felly, mae swm cyfres rifyddol anfeidraidd, yn gyffredinol, yn anfeidraidd ac ni ellir ei gyfrifo fel cyfres geometrig gydgyfeiriol.
-
Yn yr erthygl hon, rydym wedi ymdrin â nifer o broblemau enghreifftiol ac wedi trafod dilyniannau a chyfresi. Rydym wedi adolygu dilyniannau rhifyddeg a geometrig, wedi gweld sut i gyfrifo'r term nfed a swm eu termau cyntaf, ac wedi ateb cwestiynau am gyfresi anfeidraidd. Drwy ddeall y cysyniadau a'r enghreifftiau sylfaenol hyn, gobeithiwn y byddwch yn teimlo'n fwy hyderus wrth ymdrin â dilyniannau a chyfresi mewn mathemateg.
