Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Dilyniannau Rhifyddeg
Mae dilyniannau rhifyddeg yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg sy'n ymddangos yn aml mewn amrywiol arholiadau a chymwysiadau byd go iawn. Dilyniant rhifyddeg yw dilyniant o rifau gyda gwahaniaeth cyson rhwng pob dau derm olynol. Yn yr erthygl hon, byddwn yn archwilio'r cysyniad o ddilyniannau rhifyddeg yn fanylach trwy sawl problem enghreifftiol ynghyd ag esboniadau cynhwysfawr.
Diffiniadau a Nodiadau
Cyn i ni fynd i mewn i'r problemau enghreifftiol, mae'n bwysig deall y nodiant a ddefnyddir yn aml mewn dilyniannau rhifyddeg. Os yw \(a\) yn derm cyntaf ac \(d\) yn wahaniaeth cyffredin (gwahaniaeth gyson), yna gellir ysgrifennu'r dilyniant rhifyddeg fel:
[a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d]
Gellir llunio term nfed (Un) y dilyniant hwn fel:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Dyma nifer o gwestiynau enghreifftiol a'u trafodaethau i'w gwneud hi'n haws deall dilyniannau rhifyddeg.
Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn:
O ystyried dilyniant rhifyddol gyda'r term cyntaf _(a = 5)_ a'r gwahaniaeth cyffredin _(d = 3)_. Penderfynwch y 10fed term yn y dilyniant.
Trafodaeth:
Gan ddefnyddio'r fformiwla gyffredinol ar gyfer yr nfed term, sef \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Felly, y 10fed term yn y dilyniant yw 32.
Cwestiwn Enghraifft 2
Cwestiwn:
O ystyried dilyniant rhifyddol gyda'r pumed term yn 20 a'r wythfed term yn 35. Pennwch y term cyntaf \(a\) a'r gwahaniaeth cyffredin \(d\) o'r dilyniant.
Trafodaeth:
O'r cwestiwn, rydyn ni'n gwybod:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Tynnwch y ddau hafaliad i ddileu \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Nawr rydym yn amnewid \(d = 5\) i ddod o hyd i \(a\):
[a + 4 ≥ 5 = 20]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Felly, term cyntaf y dilyniant yw 0 a'r gwahaniaeth yw 5.
Cwestiwn Enghraifft 3
Cwestiwn:
Beth yw swm yr 20 term cyntaf mewn dilyniant rhifyddol y mae ei derm cyntaf yn \(a = 2\) a'i wahaniaeth cyffredin \(d = 4\)?
Trafodaeth:
Gellir cyfrifo swm yr n term cyntaf mewn dilyniant rhifyddol gan ddefnyddio'r fformiwla:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Ar gyfer y llinell hon:
[S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \chwith( 4 + 76 \dde) \]
\[ S_{20} = 10 ⋅ 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
Felly, swm yr 20 term cyntaf yn y dilyniant yw 800.
Cwestiwn Enghraifft 4
Cwestiwn:
Trydydd term dilyniant rhifyddol yw 15 a'r seithfed term yw 27. Dewch o hyd i'r 12fed term o'r dilyniant.
Trafodaeth:
Yn gyntaf, mae angen i ni ddod o hyd i'r gwerthoedd \(a\) a \(d\). O'r cwestiwn, rydyn ni'n gwybod:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Tynnwch y ddau hafaliad i ddileu \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Nawr rydym yn amnewid \(d = 3\) i ddod o hyd i \(a\):
[a + 2 ≥ 3 = 15]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Gan ddefnyddio'r fformiwla term nfed i ddod o hyd i'r 12fed term:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Felly, y 12fed term yn y dilyniant yw 42.
Cwestiwn Enghraifft 5
Cwestiwn:
Mae gan ddilyniant rhifyddol gyda'r term cyntaf \(a\) a'r gwahaniaeth cyffredin \(d\) swm o'r 10 term cyntaf, sef 55. Os \(d = 1\), pennwch y term cyntaf \(a\).
Trafodaeth:
O ystyried \(d = 1\) a \(S_{10} = 55\). Defnyddiwch y fformiwla ar gyfer swm y termau cyntaf:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)]
Ar gyfer n = 10:
[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Felly, term cyntaf y dilyniant yw 1.
Casgliad
Mae dilyniannau rhifyddeg yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg sy'n hynod ddefnyddiol mewn amrywiol feysydd. Yn yr erthygl hon, rydym wedi trafod sawl enghraifft o ddilyniannau rhifyddeg a'u datrysiadau. Bydd dealltwriaeth dda o'r fformwlâu a phriodweddau sylfaenol dilyniannau rhifyddeg yn ddefnyddiol iawn wrth ddatrys gwahanol fathau o broblemau sy'n gysylltiedig â'r pwnc hwn.
Drwy ymarfer enghreifftiau fel y rhai uchod, gobeithir y byddwch yn dod yn fwy hyfedr ac yn gyflymach wrth ddatrys problemau sy'n cynnwys dilyniannau rhifyddeg.
