Bernoulliho princip a rovnice
Když jedeme na motorce docela rychle, oblečení, které nosíme, se vzadu nafoukne. Pokud ještě neumíte jezdit na motorce, věnujte pozornost svým rodičům nebo přátelům, kteří jezdí na motorkách. Jejich oblečení se obvykle vzadu nafoukne, když motorka jede rychle. Někdy, když fouká silný vítr, se dveře domu mohou samy zavřít. I když vítr fouká venku, dveře jsou uvnitř domu.
To lze vysvětlit pomocí Bernoulliho principu. Daniel Bernoulli (1700–1782) objevil princip, který lze použít k vysvětlení některých výše uvedených věcí.
Bernoulliho princip
Bernoulliho princip říká, že tam, kde je rychlost proudění kapaliny vysoká, je tlak kapaliny nízký. Naopak, pokud je rychlost proudění kapaliny nízká, tlak se zvýší. Když se motocykl pohybuje rychle, rychlost vzduchu před a vedle vašeho těla je vysoká. Tlak vzduchu se tedy sníží. Zadní část vašeho těla je blokována přední částí vašeho těla, takže rychlost vzduchu za vaším tělem se nemění na vysokou (přímo za vaším tělem). V důsledku toho se tlak vzduchu za vaším tělem zvýší. Protože existuje rozdíl v tlaku vzduchu, kde je tlak vzduchu přímo za vaším tělem větší, vzduch tlačí vaše tričko dozadu, takže vypadá, jako by bylo vzadu nafouklé.
A co dveře, které se samy zavírají, když venku fouká silný vítr? Vzduch venku se pohybuje rychleji než vzduch uvnitř. V důsledku toho je tlak vzduchu venku nižší než tlak vzduchu uvnitř. Kvůli tomuto tlakovému rozdílu, kde je tlak vzduchu uvnitř vyšší, se dveře tlačí ven. Jinými slovy, dveře se pohybují z místa s vyšším tlakem vzduchu na místo s nižším tlakem vzduchu.
Bernoulliho rovnice
Dříve jsme se seznámili s Bernoulliho principem. Bernoulli tento princip také kvantitativně rozvinul. Pro odvození Bernoulliho rovnice předpokládáme stacionární, laminární proudění tekutiny, nestlačitelnost a nízkou viskozitu, které lze zanedbat.
V diskusi o rovnici kontinuity jsme se dozvěděli, že průtok kapaliny se může také měnit v závislosti na ploše průřezu průtokové trubice. Na základě výše vysvětleného Bernoulliho principu se tlak kapaliny může také měnit v závislosti na průtoku kapaliny. Tlak kapaliny se může také měnit v závislosti na výšce kapaliny. Vztah mezi tlakem, průtokem a výškou proudění lze zjistit z Bernoulliho rovnice.
Bernoulliho rovnice je velmi důležitá, protože ji lze použít k analýze letu letadel, vodních elektráren, potrubních systémů atd. Aby Bernoulliho rovnice, kterou odvodíme, platila obecně, budeme předpokládat, že tekutina proudí průtokovou trubicí s nestejnými plochami průřezů a také různými výškami (viz obrázek níže). Pro odvození Bernoulliho rovnice aplikujeme větu o práci a energii na tekutinu v oblasti průtokové trubice. Dále vypočítáme množství tekutiny a práci vykonanou k jejímu pohybu.
Neprůhledná barva v průtokové trubici na obrázku indikuje tok kapaliny, zatímco bílá barva indikuje žádnou kapalinu.
Kapalina v průřezu 1 (levá strana) proudí o vzdálenost L1 a nutí kapalinu v průřezu 2 (pravá strana) pohybovat se o vzdálenost L2 . Protože plocha průřezu 2 na pravé straně je menší, je průtok kapaliny na pravé straně průtokové trubice větší (vzpomeňte si na rovnici kontinuity). To způsobuje tlakový rozdíl mezi průřezem 2 (pravá strana průtokové trubice) a průřezem 1 (levá strana průtokové trubice) - vzpomeňte si na Bernoulliho princip. Kapalina na levé straně průřezu 1 vyvíjí tlak P1 na kapalinu na pravé straně a vykonává práci:
Pak lze rovnici W1 zapsat jako:
W1 = p1 A1L1
V průřezu 2 (pravá strana průtokové trubice) je práce vykonaná na kapalině:
W² = −p²A²L²
Znaménko záporné znamená, že působící síla je opačná ke směru pohybu. Kapalina tedy vykonává práci napravo od řezu 2. Kromě toho na kapalinu působí i gravitační síla. Ve výše uvedeném případě se určitá hmotnost kapaliny přesune z řezu 1 až do L1 do řezu 2 až do L2 , kde objem kapaliny v řezu 1 (A1L1 ) = objem kapaliny v řezu 2 (A2L2 ) . Práce vykonaná gravitací je :
W³ = −mg( h² − h¹ )
W3 = −mgh2 + mgh1 )
W³ = mgh₁₀ − mgh₂
Záporné znaménko je způsobeno prouděním tekutiny směrem nahoru, proti směru gravitace. Celková práce vykonaná na tekutině, jak je znázorněno na obrázku výše, je tedy:
Š = Š1 + Š2 + Š3
W = P1A1L1 ‐ P2A2L2 + mgh1 ‐ mgh2
Věta o práci a energii říká, že celková práce vykonaná na systému se rovná změně jeho kinetické energie. Můžeme tedy nahradit práci (W) změnou kinetické energie (EK² - EK¹ ).
Výše uvedenou rovnici můžeme přepsat jako:
W = P1A1L1 ‐ P2A2L2 + mgh1 ‐ mgh2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Hmotnost tekutiny protékající na vzdálenost L1 v průřezu A1 = hmotnost tekutiny protékající na vzdálenost L2 ( řez A2 ) . Hmotnost tekutiny, řekněme m , má objem A1 L1 a A2 L2 , kde A1 L1 = A2 L2 ( L2 je delší než L1 ).
Nyní dosadíme, nebo nahradíme m ve výše uvedené rovnici za m = ρ AL:
Toto je Bernoulliho rovnice. Bernoulliho rovnici jsme odvodili na základě principu práce a energie, takže je to forma zákona zachování energie.
keterangan:
P = Tlak
ρ = Hustota kapaliny
v = Rychlost proudění kapaliny
g = Gravitační zrychlení
h = Výška průtokové trubice/potrubí od povrchu země
Levá a pravá strana výše uvedené Bernoulliho rovnice se mohou vztahovat na libovolné dva body podél průtokové trubice, takže můžeme výše uvedenou rovnici přepsat jako:
Tato rovnice uvádí, že celkový součet veličin v rovnici má v celé průtokové trubici stejnou hodnotu.
Nyní si zopakujme Bernoulliho rovnici pro některé případy.
Bernoulliho rovnice pro klidové tekutiny
Speciálním případem Bernoulliho rovnice jsou klidové tekutiny (statické tekutiny). Když je tekutina v klidu, nemá žádnou rychlost. Proto v1 = v2 = 0. V případě klidové tekutiny lze Bernoulliho rovnici formulovat jako:
Pokud h² ‐ h¹ = h, pak lze tuto rovnici zapsat jako:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoulliho rovnice pro průtokové trubice nebo potrubí stejné výšky
Pokud je výška průtokové trubice nebo potrubí stejná, pak se Bernoulliho rovnice změní na:
