Pohyb projektilu

Článek o pohybu projektilu a ukázkové úlohy s řešeními

Počáteční rychlost (v_o) a složky počáteční rychlosti (v_ox a v_oy)

Objekt, jehož parabolický pohyb má vždy počáteční rychlost. Protože parabolický pohyb je kombinací pohybů v horizontálním a vertikálním směru, má počáteční rychlost také horizontální a vertikální složku.

Pokud se objekt pohybuje parabolicky, jak je znázorněno na obrázcích 1 a 3, pak se počáteční rychlost v horizontálním směru (v _ox ) a počáteční rychlost ve vertikálním směru (v _oy ) vypočítá pomocí rovnice:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Pokud se objekt pohybuje parabolicky, jak je znázorněno na obrázku 2, pak v _o = v _ox (v _oy = 0)

Rychlost (v)_x a v_y) a Pozice (x a y)

Rychlost v horizontálním a vertikálním směru v určitém časovém intervalu se vypočítá pomocí rovnice:

v _x = v _ox = konstanta ( rovnoměrný lineární pohyb )

v _y = v _oy + gt nebo v _y ² = v _oy ² + 2 gh (volný pád)

Poloha objektů v horizontálním (x) a vertikálním (y) směru v určitém časovém intervalu se vypočítá pomocí rovnice:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 ^gt²

Výslednice rychlosti (v) a polohy (h)

Výsledná rychlost v daném časovém intervalu se vypočítá pomocí rovnice:

Směr objektů v určitém časovém intervalu se vypočítá pomocí rovnice:

Poznámky:

1. Horizontální složka parabolického pohybu je považována za rovnoměrný lineární pohyb, takže vox = vx je vždy konstantní

2. Vertikální složka parabolického pohybu se považuje za pohyb volného pádu, takže pokud se objekt pohybuje parabolicky, jako je znázorněno na obrázcích 1 a 3, vertikální složka rychlosti objektu v maximální výšce je nulová (v _y = 0). Pokud hodíte kuličku svisle vzhůru v maximální výšce, objekt se na okamžik zastaví (v _y = 0), než se otočí dolů. Proto je rychlost objektu pohybujícího se parabolicky v maximální výšce = v _x = v _ox

3. Pokud se objekt pohybuje parabolicky, jak je znázorněno na obrázku 2, pak se vertikální složka parabolického pohybu považuje za pohyb volného pádu. Pokud se objekt pohybuje parabolicky, jak je znázorněno na obrázcích 1 a 3, pak se vertikální složka parabolického pohybu považuje za vertikální pohyb směrem nahoru.

Ukázkové problémy:

1. Kulka je vystřelena ve vodorovném směru s počáteční rychlostí 20 m/s. Pokud je zbraň 5 metrů nad zemí, určete:

(a) doba ve vzduchu

b) maximální výška

(c) horizontální vzdálenost

(d) rychlost střely při dopadu na zem

Řešení:

Pohyb v horizontálním směru se analyzuje jako rovnoměrný lineární pohyb, zatímco pohyb ve vertikálním směru se analyzuje jako pohyb volným pádem.

Známý:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Doba ve vzduchu

Řešením je určení časového intervalu (t) při volném pádu.

Známé: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Hledá se: t

b) Maximální výška

Maximální výška = h = 5 metrů.

c) Horizontální vzdálenost (d)

Řešení je jako určení vzdálenosti při rovnoměrném lineárním pohybu

Známé: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekunda

Hledá se: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Rychlost při dopadu kulky na zem

vtx = _vox = 20 m/ _s

v _ty = ?

Nejprve vypočítáme konečnou rychlost ve vertikálním směru (vty). Řešení je podobné určení konečné rychlosti volného pádu.

Známé: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Hledá se: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt = 9.8 m/ _s

Rychlost střely při dopadu na zem:

Směr střely:

Protože v _tx směřuje ve směru kladné osy x (doprava) a v _ty směřuje ve směru záporné osy y (dolů),

Směr střely při dopadu na zem je -26.1 ^° vzhledem k kladné ose x (viz obrázek níže).

2. Kanón vystřelil kulku pod úhlem 30 ^° k horizontále rychlostí 60 m/s. Určete:

a) maximální výška

(b) rychlost střely v maximální výšce

(c) doba ve vzduchu

(d) horizontální vzdálenost

(e) rychlost střely při dopadu na zem. Předpokládejme, že je zem rovná. 🙂

Řešení:

Pohyb v horizontálním směru se analyzuje jako rovnoměrný lineární pohyb, pohyb ve vertikálním směru se analyzuje jako vertikální pohyb vzhůru.

Známé: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Na základě známých dat nejprve vypočítáme vertikální (v _oy ) a horizontální (v _ox ) složku počáteční rychlosti (v _o ).

a) Maximální výška (h)

Řešení je jako určení maximální výšky při vzestupném vertikálním pohybu.

Známý:

v _ox = v _o cos θ = (60) (cos 30) = (60) (0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60) (sin 30) = (60) (0.5) = 30 m/s

a) Maximální výška (h)

Řešení je jako určení maximální výšky při vertikálním pohybu nahoru.

Známý:

v _oy = 30 m/s (to je počáteční rychlost střely)

v _ty = 0 m/s (V maximální výšce je vertikální rychlost střely = 0 m/s. Toto je konečná rychlost.)

g = –9.8 m/ ^s²

Hledá se: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 hod.

900 = 19.6 hodin

h = 900/19.6

v = 45.9 metrů

Maximální výška dosažená střelou = 45.9 metrů.

b) Rychlost v maximální výšce

V maximální výšce je rychlost ve vertikálním směru = 0 m/s. V maximální výšce je jediná rychlost v horizontálním směru. Rychlost v horizontálním směru v maximální výšce je rovna počáteční rychlosti v horizontálním směru, která je 52.2 m/s. Směr rychlosti v horizontálním směru je vždy konstantní, tj. ve směru kladné osy x (pokud je pohyb objektu popsán na výše uvedeném diagramu).

c) Čas ve vzduchu

Řešení je podobné určení časového intervalu (t) v diskusi o vertikálním pohybu nahoru.

Známý:

v _oy = 30 m/s (to je počáteční rychlost střely ve svislém směru)

g = –9.8 m/ ^s²

h = 0 m (při návratu střely k zemi je posunutí střely ve svislém směru = 0 m)

Hledá se: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekundy

Doba ve vzduchu = 6.12 sekundy

d) Horizontální vzdálenost (d)

Řešení je jako určení vzdálenosti (d) při rovnoměrném lineárním pohybu.

Známý:

vox ₌ 52.2 m/s

t = 6.12 sekundy

Hledá se: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekundy) = 319.5 m

e) Rychlost při dopadu kulky na zem

vtx = _vox = 52.2 m/ _s

v _ty = ?

Nejprve vypočítáme konečnou rychlost ve vertikálním směru (v _ty ). Řešením je určení konečné rychlosti při vertikálním pohybu vzhůru.

Požadovaná rychlost: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekundy

Hledá se: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Znaménko záporné znamená, že směr konečné rychlosti je směrem dolů. Všimněte si, že počáteční rychlost ve svislém směru je rovna konečné rychlosti ve svislém směru.

Rychlost střely při dopadu na zem:

Směr střely:

Protože v _tx směřuje ve směru kladné osy x (doprava) a vty směřuje ve směru záporné osy y (dolů),

Směr rychlosti střely při dopadu na zem je -30 ^° kolem kladné osy x (viz obrázek níže).

3. Míč je hozen z okraje 50 metrů vysoké budovy s počáteční rychlostí 10 m/s. Pokud je míč hozen pod úhlem 30° vzhledem k horizontále, určete:

(a) časový interval, za který míč dosáhne země

(b) rychlost míče při dopadu na zem

(c) horizontální vzdálenost, kterou může míč dosáhnout, se měří od okraje budovy

(d) maximální výška dosažená míčem

Řešení:

Nejprve vypočítáme vertikální složku (v _oy ) a horizontální složku (v _ox ) počáteční rychlosti (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Časový interval, kdy míč dosáhne země

Řešení je podobné určení časového intervalu (t) při vertikálním pohybu nahoru. Velikost vektoru, jehož směr směřuje nahoru, je zvolena kladná, velikost vektoru, jehož směr směřuje dolů, je zvolena záporná. Jako referenční bod je zvolena poloha míče, kam je hozen. h je záporné, protože povrch země je pod referenčním bodem, g je záporné, protože směr gravitačního zrychlení směřuje dolů.

Známý:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Hledá se: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Použijte kvadratický vzorec:

Doba ve vzduchu = časový interval od doby, kdy byl míč hozen, do doby, než dopadl na zem = 1.64 sekundy.

b) Rychlost míče při dopadu na zem

vtx = _vox = vx ₌ 8.7 m/ _s

v _ty = ?

Nejprve vypočítáme konečnou rychlost ve vertikálním směru (v _ty ). Řešení je podobné určení konečné rychlosti při vertikálním pohybu vzhůru.

Známé: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekundy

Hledá se: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Záporné znaménko znamená, že směr konečné rychlosti je směrem dolů.

Rychlost střely při dopadu na zem:

Směr rychlosti střely = směr pohybu střely při dopadu na zem:

Rychlost střely při dopadu na zem:

Protože vtx směřuje ve směru kladné osy x (doprava) a vty směřuje ve směru záporné osy y (dolů),

Směr střely při dopadu na zem je -52° kolem kladné osy x (viz obrázek níže).

c) Horizontální vzdálenost, kterou může míč dosáhnout, se měří od okraje budovy

Řešení je jako určení ujeté vzdálenosti (d) při rovnoměrném lineárním pohybu.

Známé: t = 1.64 sekundy, v _x = 8.7 m/s

Hledá se: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Maximální výška, které míč dosáhne

Známé: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikální složka rychlosti v maximální výšce = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Hledá se: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s²) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 metru

Maximální výška dosažená míčem = 1.3 metru nad vrcholem budovy = 1.3 m + 50 m = 51.3 metru nad povrchem země.