Článek o rovnici kontinuity
Zkuste pomalu otevřít vodovodní kohoutek a zároveň věnujte pozornost rychlosti vody vytékající z ústí kohoutku. Nyní porovnejte, kde je rychlost toku vody vyšší, když je ústí kohoutku zavřené nebo ne? Proč tomu tak je? Abyste tomu porozuměli, prostudujte si prosím rovnici kontinuity.
Racionalizovat
V ustáleném proudu je rychlost každé částice tekutiny v bodě, například v bodě A, vždy stejná. Při průchodu bodem B se rychlost částic tekutiny může měnit. Po dosažení bodu B však částice tekutiny, které následují za nimi, proudí stejnou rychlostí jako částice tekutiny, které je předcházejí. Podobně i při dosažení bodu C atd. Čára proudění je křivka, která spojuje body A, B a C.
Průtoková trubice
Každou proudnici můžeme popsat procházející každým bodem proudění tekutiny. Pokud vnímáme ustálený tok tekutiny, pak několik proudnic, které svírají určitý úhel na imaginárním povrchu, tvoří průtokovou trubici. Žádné částice tekutiny se neprotínají, ale jsou vždy rovnoběžné, a průtoková trubice se bude podobat trubce, jejíž tvar je stále stejný. Kapalina vstupující na jednom konci trubice bude z trubice vytékat na druhém konci.
[irp]
Debet
Výtok udává objem kapaliny protékající určitým průřezem v určitém časovém intervalu. Matematicky to lze vyjádřit jako:
Výtok = Objem kapaliny / časový interval
Q = V/t
Pro lepší pochopení použijeme příklad. Například tekutina proudí potrubím. Potrubí je obvykle válcové a má určitý průřez. Potrubí má také určitou délku.
Když tekutina proudí potrubím až k bodu L, objem tekutiny v potrubí je V = AL (V = objem tekutiny, A = plocha průřezu a L = délka potrubí). Protože dokud tekutina proudí potrubím podél bodu L, potřebuje určitý časový interval, můžeme říci, že množství tekutiny je:
Protože v = s / t = L / t —> L = vt, výše uvedená rovnice se změní na:
Když tedy tekutina proudí potrubím s určitou plochou průřezu a délkou po určitou dobu, množství vytékající tekutiny (Q) se rovná ploše průřezu (A) vynásobené rychlostí proudění tekutiny (v).
Rovnice kontinuity
Zkontrolujte tok tekutiny v potrubí s různým průměrem, jak je znázorněno na obrázku níže.
Tento obrázek znázorňuje tok tekutiny zleva doprava (tekutina proudí z potrubí s velkým průměrem do potrubí s malým průměrem). Přerušovaná čára je aerodynamická.
A 1 = plocha průřezu potrubí s velkým průměrem, A 2 = plocha průřezu potrubí s malým průměrem, v 1 = rychlost proudění kapaliny v potrubí s velkým průměrem, v 2 = rychlost proudění kapaliny v potrubí s malým průměrem, L = dráha uražená kapalinou.
V ustáleném proudění se rychlost proudění částic tekutiny v daném bodě rovná rychlosti proudění ostatních částic tekutiny, které tímto bodem procházejí. Proudění tekutiny se také neprotíná (přímky jsou rovnoběžné). Proto hmotnost tekutiny, která vstupuje do jednoho konce potrubí, musí být rovna hmotnosti tekutiny, která vystupuje na druhém konci. Pokud má tekutina určitou hmotnost přicházející do trubky s velkým průměrem, pak bude tekutina vystupovat z trubky s malým průměrem a stejnou hmotností.
Nyní se podívejte na obrázek potrubí výše. Projděte si potrubí s velkým průměrem a potrubí s malým průměrem.
Během určitého časového intervalu proteče částí potrubí s velkým průměrem (A1 ) až k L1 ( L1 = v1t ) . Objem protékající kapaliny je V1 = A1L1 = A1v1t . Během stejného časového intervalu proteče částí potrubí s malým průměrem (A2 ) další kapaliny až k L2 ( L2 = v2t ) . Objem protékající kapaliny je V2 = A2L2 = A2v2t.
[irp]
Rovnice kontinuity pro nestlačitelné tekutiny
V nestlačitelných tekutinách je hustota tekutiny v každém bodě, kterým prochází, vždy stejná. Hmotnost tekutiny proudící v potrubí s průřezem A1 (velký průměr potrubí) během určitého časového intervalu je:
Podobně je hmotnost kapaliny proudící v potrubí s průřezem A² ( malý průměr potrubí) během určitého časového intervalu:
V ustáleném proudu je hmotnost vstupující tekutiny stejná jako hmotnost vystupující tekutiny, takže:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
A1 proti 1 = A2 proti 2
Takže rovnice kontinuity v nestlačitelných tekutinách:
A1 v1 = A2 v 2 — Rovnice 1
A 1 = plocha průřezu 1, A 2 = plocha průřezu 2, v 1 = rychlost proudění kapaliny v řezu 1, v 2 = rychlost proudění kapaliny v řezu 2, A v = objemový průtok (V / t) = výtok.
Rovnice 1 ukazuje, že průtok je v každém bodě potrubí nebo průtokové trubice vždy stejný. Když se průřez potrubí zmenší, průtok kapaliny se zvětší, zatímco když se průřez potrubí zvětší, průtok kapaliny se zmenší.
[irp]
Když je část ústí kohoutku zavřená, proud vody je silnější než v případě, že část ústí kohoutku není zavřená. Je to proto, že plocha průřezu kohoutku se při zavření části ústí kohoutku zmenšuje, takže se zvyšuje rychlost proudění vody. Je však důležité vědět, že rychlost proudění nebo vypouštění tekutin je v každém bodě podél toku vody vždy stejná, ať už je část ústí našeho kohoutku zavřená, nebo ne. Co se tedy mění v rychlosti proudění tekutiny?
A co pak tok vody v řece? Hluboká část řeky má větší průřez než mělká část řeky, takže rychlost proudění vody v hluboké řece je menší než rychlost proudění vody v mělké části řeky.
Rovnice kontinuity pro stlačitelné tekutiny
U stlačené kapaliny není hustota kapaliny vždy stejná. Jinými slovy, hustota kapaliny se při stlačení mění. Pokud kapalina není stlačena, hustota kapaliny se z rovnice odstraní, takže v tomto případě je hustota kapaliny v rovnici zahrnuta. S odkazem na rovnici, která byla odvozena dříve, odvodíme rovnici pro stlačenou kapalinu.
Hmotnost kapaliny, která vstupuje, se rovná hmotnosti kapaliny, která vystupuje, takže:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
Interval proudění tekutiny je stejný, takže jej lze eliminovat. Rovnice se změní na:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Rovnice 2
Toto je rovnice pro stlačenou tekutinu. Rozdíl spočívá v hustotě tekutiny. Pokud je tekutina stlačena, hustota se mění. Naopak, pokud tekutina stlačena není, hustota je vždy stejná, takže ji lze z rovnice vynechat.
Příklad úlohy 1:
Voda protéká potrubím o průměru 10 cm rychlostí 2 m/s. Jaký je průtok vody?
Známý:
Průměr trubky = 10 cm
Poloměr trubky (r) = 5 cm = 0.05 m
Rychlost vody (v) = 2 m/s
Požadováno: Debet
Řešení:
Q = A₂
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) ² (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
[irp]
Příklad úlohy 2:
Potrubí o průměru 20 cm je připojeno k jinému potrubí o průměru 10 cm. Pokud je rychlost vody v potrubí o průměru 20 cm 4 m/s, jaká je rychlost vody v potrubí o průměru 10 cm?
Známý:
Průměr 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/s
Průměr 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Hledá se: v 1
Odpověď:
Q1 = Q2
A1 proti 1 = A2 proti 2
( π r 12 ) (4 m/s) = ( π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/s
[irp]
