Materiál k Archimédovu zákonu
Viděli jste někdy loď? Pokud jste žádnou neviděli naživo, doufejme, že jste ji viděli v televizi nebo na internetu. Loď s velmi velkou hmotností se nepotopí, zatímco malá, lehká skála ano. Proč tomu tak je? Odpověď je celkem jednoduchá, pokud rozumíte pojmům vztlaku a Archimédova zákona.
V každodenním životě zjistíme, že předměty umístěné v tekutině, například skála, mají menší hmotnost, než když předmět v tekutině není. Můžete mít potíže se zvednutím kamene z povrchu země, ale stejná skála se snadno zvedne ze dna bazénu. To je způsobeno vztlakovou silou. Vztlak vzniká v důsledku rozdílu tlaku tekutiny v různých hloubkách. Tlak tekutiny se zvyšuje s hloubkou, čím hlouběji je tekutina, tím větší je tlak tekutiny. Když je předmět umístěn v tekutině, bude rozdíl v tlaku mezi tekutinou nad předmětem a tekutinou pod předmětem. Tekutina umístěná na dně předmětu má větší tlak než tekutina umístěná nahoře.
Vztlak
Na obrázku je vidět objekt plovoucí ve vodě. Kapalina pod objektem má větší tlak než tekutina nad objektem. Je to proto, že tekutina pod objektem má větší hloubku než tekutina nad objektem (h2 > hod.1).
F2 = síla působící kapalinou na spodní část tělesa, F1 = síla působící kapalinou na horní část tělesa, A = plocha povrchu tělesa
Rozdíl mezi F² a F¹ je celková síla, kterou tekutina působí na objekt, a kterou známe jako vztlakovou sílu. Velikost vztlakové síly je:
Vztlak F = F² − F¹
F vznášející se = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F s plovoucí destičkou = ρ g A ( h² − h¹ )
vztlak F = ρ g A h
vztlak F = ρ g V
keterangan:
ρ = hustota kapaliny
g = gravitační zrychlení
V = objem objektu v tekutině
takže rovnici, která udává velikost vztlakové síly (vztlaku F) výše, lze zapsat jako:
F s plovoucí destičkou = ρ F g V → m = ρ V
vztlak F = m F g
vztlak F = w F
m F g = w F = hmotnost kapaliny, která má stejný objem jako objem ponořeného objektu.
Archimédův princip
Na základě výše uvedené rovnice můžeme říci, že vztlaková síla se rovná hmotnosti vytlačené tekutiny, objem vytlačené tekutiny se rovná objemu objektu ponořeného do tekutiny.
Pokud je objekt ponořen do tekutiny a plave na hladině, přičemž je ponořena pouze jeho část, pak se objem vytlačené tekutiny rovná objemu části objektu ponořené v tekutině. Bez ohledu na tvar nebo velikost objektu se u všech objektů stane totéž. Toto je dílo Archiméda (287-212 př. n. l.), které je nyní známé jako Archimédův princip.
Archimédův princip říká, že:
Když je objekt zcela nebo částečně ponořen do kapaliny, kapalina na něj působí vztlakovou silou směrem nahoru, kde velikost vztlakové síly se rovná hmotnosti vytlačené kapaliny.
Příběh Archiméda
Archimédes, který žil mezi lety 287 a 212 př. n. l., byl pověřen králem Hierónem II., aby prozkoumal, zda koruna vyrobená pro krále byla vyrobena z čistého zlata. Archimédes si zpočátku nebyl jistý, zda je koruna vyrobena z čistého zlata, nebo zda obsahuje jiné kovy. Problém byl v tom, že koruna měla nepravidelný tvar a nebylo možné ji rozbít, aby se zjistilo, zda se jedná o čisté zlato.
Myšlenka, která stojí za určením, zda je královská koruna vyrobena z ryzího zlata, spočívá v tom, že se nejprve určí měrná hmotnost koruny a poté se ji porovná s měrnou hmotností zlata. Pokud je koruna vyrobena z ryzího zlata, pak měrná hmotnost koruny = měrná hmotnost zlata.
Měrná hmotnost objektu je poměr hmotnosti objektu ve vzduchu k hmotnosti vody o stejném objemu jako objekt. Matematicky se píše:
Jak určit hmotnost vody, která má stejný objem jako objem objektu?
Podle Archiméda je hmotnost vody o stejném objemu jako objem tělesa = velikosti vztlakové síly, když se těleso potápí (celé těleso je ponořeno do vody). To je stejné jako hmotnost tělesa ztracená při vážení ve vodě. Tedy:
Pro stanovení měrné hmotnosti koruny se koruna nejprve zváží ve vzduchu (hmotnost koruny ve vzduchu). Poté se koruna vloží do vody a znovu zváží, aby se získala hmotnost ztracené koruny. Takže:
Jakmile je zjištěna měrná hmotnost koruny, porovná se s měrnou hmotností zlata. Měrná hmotnost zlata je 19,3. Pokud se měrná hmotnost koruny rovná měrné hmotnosti zlata, pak je koruna vyrobena z ryzího zlata. Pokud však koruna není vyrobena z ryzího zlata, pak se měrná hmotnost koruny nebude shodovat s měrnou hmotností zlata.
Proč se lodě nepotápí?
Pokud je hustota objektu menší než hustota vody, pak objekt bude plavat. Naopak, pokud je hustota objektu větší než hustota vody, pak se objekt potopí. Většina lodí je vyrobena ze železa a oceli. Hustota železa a oceli = 7,8 x 10³ kg /m³ , zatímco hustota vody = 1,00 x 10³ kg /m³ . Zdá se, že hustota železa a oceli je větší než hustota vody. V tomto případě je měrná hmotnost železa a oceli = 7,8. Lodě vyrobené ze železa a oceli by se měly potopit. Proč se lodě nepotopí? Celková hustota lodi je menší než hustota vody nebo mořské vody.
Příklady otázek k Archimédovu zákonu
Příklad otázky 1:
Na dně bazénu leží kámen o hmotnosti 40 kg. Pokud je objem kámenu 0,2 m³ , jaká je minimální síla potřebná k jeho zvednutí?
Diskuse
Je známo, že:
Hmotnost kamene (m) = 40 kg
Objem kamene (V) = 0,02 m³
Hustota vody = 1000 kg/ m³
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Otázka: Minimálně F
Odpověď:
vztlak F = w F
vztlak F = m F g → m = pV
vztlak F = ρ F g V
Vztlak F = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
Vztlak F = 200 kg m/ s²
vztlak F = 200 N
Hmotnost kamene (w) = mg
Hmotnost kamene = (40 kg)(10 m/ s² )
Hmotnost kamene = 400 kg m/ s²
Hmotnost kamene = 400 N
Minimální síla potřebná ke zvednutí kamene:
Hmotnost kamene – Vztlaková síla = 400 N – 200 N = 200 Newtonů.
Příklad otázky 2:
Hmotnost tělesa ve vzduchu = 5000 kg m/s² a hmotnost tělesa ve vodě = 4000 kg m/s² . Pokud je hustota tělesa = 2000 kg/m³ , jaká je hmotnost a objem tělesa? g = 10 m/ s²
Diskuse
Gravitační zrychlení (g) = 10 m/ s²
Hustota objektu = 2000 kg/ m³
Hustota vody = 1000 kg/ m³
Hmotnost tělesa ve vzduchu = 5000 kg m/ s²
Hmotnost objektu ve vodě = 4000 kg m/ s²
Vztlaková síla (F vztlaková síla) = Hmotnost objektu ve vzduchu – Hmotnost objektu ve vodě
Vztlak F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
Vztlak F = 1000 kg m/ s²
F vztlak = Hmotnost vytlačené vody
F vztlak = (hmotnost vody)(g)
F vztlak = (objem vytlačené vody)(hustota vody)(g)
Objem vytlačené vody = Objem objektu ponořeného ve vodě 😉
Takže objem objektu = 0,1 m³
Hmotnost objektu = ?
p = m/V
m = ρV
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Hmotnost objektu = 200 kg
Příklad otázky 3:
Jaký objem hélia je potřeba, pokud má balón zvednout náklad o hmotnosti 500 kg?
Diskuse
Hustota hélia = 0,1786 kg/ m³
Hustota vzduchu = 1,293 kg/ m³
Vztlaková síla = Hmotnost vytlačeného vzduchu = Hmotnost nákladu + Hmotnost hélia
Vztlaková síla = Hmotnost nákladu + hmotnost helia
Vztlaková síla = (hmotnost nákladu)(g) + (hmotnost helia)(g)
Vztlaková síla = (hmotnost nákladu + hmotnost helia)g —- rovnice 1
Vztlaková síla = Hmotnost vytlačeného vzduchu
Vztlaková síla = (hmotnost vytlačeného vzduchu)(g) —- rovnice 2
Spojíme rovnici 1 a rovnici 2:
(hmotnost nákladu + hmotnost hélia)(g) = (hmotnost vytlačeného vzduchu)(g)
hmotnost nákladu + hmotnost hélia = hmotnost vytlačeného vzduchu
500 kg + (ρ helia)(V helia) = (ρ vzduchu)(V vzduchu)
500 kg = (ρ vzduchu)(V vzduchu) – (ρ helia)(V helia)
Objem vytlačeného vzduchu (V vzduchu) = Objem hélia naplňujícího balónek (V hélia)
500 kg = (ρ vzduch – ρ helium) (V)
Toto je minimální objem hélia potřebný k vyzdvižení závaží na zemském povrchu. Aby se balón mohl vznášet výše, je třeba objem hélia zvýšit. Je to proto, že hustota vzduchu s nadmořskou výškou klesá.
