Materiale di l'equazione di cuntinuità
Pruvate à apre u rubinettu d'acqua pianu pianu mentre osservate u flussu d'acqua chì esce da u rubinettu. Una volta chì u rubinettu smette di girà, bluccate parzialmente u rubinettu cù a manu. Avà paragunate quale flussu d'acqua hè u più grande. Quandu hè parzialmente bluccatu o micca bluccatu ? Sè vo avete un tubu chì hè generalmente adupratu per innaffià i fiori, lasciate scorrere l'acqua. Bluccate parzialmente u tubu cù a manu o u ditu. Più a parte di u tubu hè bluccata, più veloce serà l'acqua chì scorrerà. À u cuntrariu, sè u tubu ùn hè micca bluccatu, l'acqua scorrerà menu rapidamente. Perchè hè cusì ? Per capisce questu, per piacè studiate l'equazione di cuntinuità.
Linee di flussu è tubi di flussu
Prima, capimu i cuncetti di linee di corrente è tubi di flussu. Stu cuncettu hè impurtante perchè vi aiuterà à capisce l'equazione di cuntinuità.
Linea di flussu
Fighjate l'imagine quì sottu, a linea blu hè a Streamline.
In un flussu stabile, a velocità di ogni particella di fluidu in un puntu, per esempiu u puntu A, ferma custante. Quandu passa u puntu B, a velocità di e particelle di fluidu pò cambià. Tuttavia, à l'arrivu à u puntu B, e particelle di fluidu chì seguitanu cuntinueghjanu à scorrere à a listessa velocità di e particelle di fluidu chì l'anu precedute. U listessu vale quandu si ghjunghje à u puntu C, è cusì via. A linea di corrente hè a curva chì cullega i punti A, B è C.
Tubu di flussu
Essenzialmente, pudemu disegnà ogni linea di corrente attraversu ogni puntu in u flussu di fluidu. Sè cunsideremu un flussu di fluidu stazionariu, un certu numeru di linee di corrente chì passanu per un certu angulu nantu à una superficia imaginaria (superficie imaginaria) formanu un tubu di flussu. Nisuna particella di fluidu s'interseca ma hè sempre parallela, è u tubu di flussu s'assumiglia à un tubu chì hà sempre a listessa forma. U fluidu chì entra à una estremità di u tubu escerà da u tubu à l'altra estremità.
Debitu
A portata indica u vulume di un fluidu chì scorre per una certa sezione trasversale in un certu intervallu di tempu. Matematicamente, pò esse espressa cusì:
Per migliurà a vostra capiscitura, pigliemu un esempiu. Supponemu chì un fluidu scorri per una pipa. I tubi sò generalmente cilindrici è anu una sezione trasversale specifica. A pipa hà ancu una lunghezza.
Quandu u fluidu scorri in u tubu finu à L, tandu u vulume di fluidu in u tubu hè V = AL (V = vulume di fluidu, A = area di a sezione trasversale è L = lunghezza di u tubu). Siccomu durante u flussu in u tubu longu L u fluidu percorre un certu intervallu di tempu, tandu pudemu dì chì a magnitudine di a scarica di fluidu hè:
Siccomu v = s/t = L/t —> L = vt, l'equazione sopra hè cambiata in:
Cusì, quandu u fluidu scorri per una pipa chì hà una certa area di sezione trasversale è lunghezza per un certu intervallu di tempu, a magnitudine di a scarica di fluidu (Q) hè uguale à l'area di a superficia di sezione trasversale (A) multiplicata per a velocità di u flussu di fluidu (v).
Equazione di cuntinuità
Cunsiderate u flussu di fluidu in una pipa cù diversi diametri, cum'è mostratu in a figura sottu.
Questa imagine mostra u flussu di fluidu da manca à diritta (u fluidu scorre da un tubu cù un grande diametru à un tubu cù un picculu diametru). E linee punteggiate sò linee di corrente.
Didascalia di l'imagine: A 1 = area di a sezione trasversale di a sezione di u tubu di grande diametru, A 2 = area di a sezione trasversale di a sezione di u tubu di picculu diametru, v 1 = velocità di u flussu di u fluidu in a sezione di u tubu di grande diametru, v 2 = velocità di u flussu di u fluidu in a sezione di u tubu di picculu diametru, L = distanza percorsa da u fluidu.
In l'introduzione à a dinamica di i fluidi, hè statu spiegatu chì in a dinamica di i fluidi, parlemu di u flussu di fluidi chì sò incomprimibili, inviscidi, micca turbulenti è stazionarii. In u flussu stazionariu, a velocità di e particelle di fluidu in un puntu hè a listessa chè a velocità di l'altre particelle di fluidu chì passanu per quellu puntu. I flussi di fluidu ùn si intersecanu micca (e linee di corrente sò parallele). Dunque, a massa di fluidu chì entra da una estremità di u tubu deve esse uguale à a massa di fluidu chì esce da l'altra estremità. Se un fluidu cù una certa massa entra in un tubu cù un grande diametru, allora u fluidu escerà da u tubu cù un picculu diametru cù una massa costante.
Avà, fighjate l'imagine di a pipa sopra. Fighjate a parte di a pipa cù u diametru grande è a parte di a pipa cù u diametru chjucu.
Durante un certu intervallu di tempu, una certa quantità di fluidu scorre per una sezione di tubu cù un grande diametru (A).1) finu à L1 (L1 =v1 t). U vulume di fluidu chì scorre hè V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Durante u listessu intervallu di tempu, un'altra quantità di fluidu scorre per una sezione di tubu cù un diametru più chjucu (A).2) finu à L2 (L2 =v2 t). U vulume di fluidu chì scorre hè V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Equazione di continuità per i fluidi incompressibili (incomprimibile)
Prima, cunsideremu u casu di un fluidu incompressibile. In un fluidu incompressibile, a densità, o massa, di u fluidu hè sempre a listessa in ogni puntu chì passa. A massa di fluidu chì scorre in un tubu cù una sezione trasversale A1 ( u grande diametru di u tubu) durante un certu intervallu di tempu hè:
In listessu modu, a massa di fluidu chì scorre in un tubu cù una sezione trasversale di A 2 (diametru di tubu chjucu) durante un certu intervallu di tempu hè:
Cunsiderendu chì in un flussu stazionariu, a massa di u fluidu chì entra hè a listessa chì a massa di u fluidu chì esce, allora:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (a densità di u fluidu è l'intervallu di tempu sò listessi dunque si annullanu)
A 1 contr'à 1 = A 2 contr'à 2
Cusì, in i fluidi incomprimibili, l'equazione di continuità s'applica:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Equazione 1
infurmazione:
A 1 = area di sezione trasversale 1, A 2 = area di sezione trasversale 2, v 1 = velocità di u flussu di fluidu à a sezione trasversale 1, v 2 = velocità di u flussu di fluidu à a sezione trasversale 2, A v = portata volumetrica V/t alias scarica
L'equazione 1 mostra chì a portata di volume, cunnisciuta ancu cum'è scarica, hè sempre a stessa in ogni puntu longu à un tubu o un tubu di flussu. Quandu a sezione trasversale di u tubu diminuisce, a portata di fluidu aumenta; à u cuntrariu, quandu a sezione trasversale di u tubu aumenta, a portata di fluidu diminuisce.
Quandu tappemu parzialmente u rubinettu, u flussu di l'acqua diventa più veloce chè quandu u rubinettu hè parzialmente chjusu. Questu hè perchè l'area di a sezione trasversale di u rubinettu diminuisce quandu u rubinettu hè parzialmente chjusu, aumentendu a velocità di u flussu di l'acqua (u fluidu scorri più veloce). U listessu hè veru per i tubi. Tuttavia, hè impurtante nutà chì a velocità di scarica o volumetrica ferma a stessa in tutti i punti longu u flussu di l'acqua, sì u rubinettu hè parzialmente chjusu o micca. Dunque, ciò chì cambia hè a velocità di u flussu di u fluidu.
Dunque, chì ne hè di u flussu di l'acqua in un fiume ? E sezzioni più prufonde di un fiume anu una sezzione trasversale più grande chè e sezzioni menu prufonde, dunque a velocità di u flussu di l'acqua in e sezzioni più prufonde hè più bassa chè in e sezzioni menu prufonde. Sè vo vede un flussu di fiume assai calmu, significa chì u fiume hè prufondu. Ma s'è u fiume diventa di colpu à scorrere veloce, quella sezzione hè sicuramente pocu prufonda. Tuttavia, a velocità di u flussu di volume di l'acqua hè sempre a stessa, sia in e sezzioni prufonde sia in e sezzioni calme di u fiume.
Equazione di continuità per i fluidi comprimibili (cumpressibile)
In u casu di fluidi cumpressibili , a densità di u fluidu ùn hè micca sempre a listessa. In altre parolle, a densità di u fluidu cambia quandu hè cumpressu. Mentre chì in i fluidi incompressibili , a densità di u fluidu hè eliminata da l'equazione, in questu casu, a densità di u fluidu hè sempre inclusa. Riferenduci à l'equazione derivata prima, derivemu l'equazione per i fluidi cumpressibili.
Cunsiderendu chì in un flussu stazionariu, a massa di u fluidu chì entra hè a listessa chì a massa di u fluidu chì esce, allora:
m1 = m2
ρ A₁ v 1 t = ρ A₂ v 2 t
L'intervallu di tempu di u flussu di fluidu hè u listessu, dunque pò esse eliminatu. L'equazione cambia in:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Equazione 2
Questa hè l'equazione per un fluidu cumpressibile. L'unica differenza stà in a densità di u fluidu. Quandu un fluidu hè cumpressu, a so densità cambia. À u cuntrariu, quandu un fluidu hè incompressibile, a so densità ferma custante è pò esse annullata.
Esempiu di quistione 1:
L'acqua scorre per un tubu cù un diametru di 10 cm à una velocità di 2 m/s. Chì ghjè u scaricu d'acqua ?
Discussione
Hè cunnisciutu chì:
Diametru di u tubu = 10 cm (questu hè u diametru internu di u tubu)
Raggiu di u tubu (r) = 5 cm = 0,05 m
v acqua = 2 m/s
Dumandatu: Debitu
Risposta:
Q = A v
Q = (π r² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Esempiu di quistione 2:
Una pipa d'acqua cù un diametru di 20 cm hè cunnessa à un'altra pipa cù un diametru di 10 cm. Sè a velocità di flussu di l'acqua in a pipa di 20 cm di diametru hè = 4 m/s, chì ghjè a velocità di flussu di l'acqua in a pipa di 10 cm di diametru ?
Discussione
Hè cunnisciutu chì:
Diametru 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v² = 4 m/s
Diametru 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0,05 m)
Dumandatu: v 1
Risposta:
Q1 = Q2
A 1 contr'à 1 = A 2 contr'à 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/s
