Esempiu di una quistione di discussione nantu à a derivata di una funzione algebrica
A derivata in calculu hè un cuncettu fundamentale adupratu per discrive cumu cambia una funzione, o a pendenza di una funzione in un puntu. E derivate sò utili in diversi campi cum'è a fisica, l'ecunumia è l'ingegneria perchè furniscenu informazioni nantu à a velocità di cambiamentu. In questu articulu, discuteremu parechji esempi di derivate di funzioni algebriche è cumu risolve li.
Esempiu 1: Derivata di una funzione polinomiale
Quistione: Data a funzione \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Determinate a derivata di a funzione!
Soluzione:
Aduprendu a regula basica di e derivate per e funzioni polinomiali, vale à dì \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), calculeremu a derivata di ogni termine di a funzione unu per unu.
\[
\begin{align}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{allineà}
\]
Cusì, a derivata di \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) hè \(f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Esempiu 2: Derivata di una funzione cù esponenti frazziunali
Quistione: Determinate a derivata di a funzione \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Soluzione:
Usendu a listessa regula di derivazione, vale à dì \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{allineà}
\]
Cusì, a derivata di \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) hè \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Esempiu 3: Derivate di funzioni esponenziali è trigonometriche
Quistione: Determinate a derivata di a funzione \(h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Soluzione:
Per risolve sta derivata, avemu bisognu di a Regula di u Produttu, chì dice \((uv)' = u'v + uv'\). Supponemu \(u(x) = e^x \) è \(v(x) = \sin(x) \), tandu:
\[
\begin{align}
u'(x) &= e^x, & \text{perchè a derivata di } e^x \text{ hè } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{perchè a derivata di } \sin(x) \text{ hè } \cos(x).
\end{allineà}
\]
Usendu a regula derivata per i prudutti:
\[
\begin{align}
h'(x) &= (e^x ∫sin(x))' \\
&= e^x ∫(sin(x))' + sin(x) ∫(e^x)'
& = e^x ∫cos(x) + sin(x) ∫e^x
& = e^x (cos(x) + sin(x)).
\end{allineà}
\]
Cusì, a derivata di \(h(x) = e^x \sin(x) \) hè \(h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Esempiu 4: Derivata di una funzione aduprendu a regula di a catena
Quistione: Determinate a derivata di a funzione \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Soluzione:
Per risolve sta derivata, avemu bisognu di a regula di a catena, vale à dì \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Supponemu \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) è \(f(u) = u^5 \), tandu:
\[
\begin{align}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{cusì} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{allineà}
\]
Usendu a regula di a catena:
\[
\begin{align}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{allineà}
\]
Cusì, a derivata di \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) hè \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Esempiu 5: Derivata di una funzione cù identità trigonometriche
Quistione: Determinate a derivata di a funzione \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Soluzione:
Useremu a regula di a derivativa per i prudutti. Supponemu \( u(x) = \sin(x) \) è \( v(x) = \cos(x) \), tandu:
\[
\begin{align}
u'(x) & = \cos(x), \\
v'(x) & = -sin(x).
\end{allineà}
\]
Usendu a regula derivata per i prudutti:
\[
\begin{align}
m'(x) & = (sin(x) ∫cos(x))' \\
& = (sin(x))' cos(x) + sin(x) (cos(x))'
& = cos(x) ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ (-sin(x))
& = cos^2(x) – sin^2(x).
\end{allineà}
\]
Usendu l'identità trigonometrica \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Cusì, a derivata di \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) hè \(m'(x) = \cos(2x) \).
Cunclusioni
A derivata di una funzione algebrica hè un cuncettu fundamentale in u calculu chì hè assai impurtante è utile in varie applicazioni. Diverse regule di derivazione, cum'è a regula di a derivata basica, a regula di u pruduttu, a regula di a catena è e regule per e derivate trigonometriche, aiutanu tutte à calculà e derivate di funzioni più cumplesse. Capendu l'esempii sopra è praticendu i prublemi, pudemu migliurà a nostra capiscitura è e nostre cumpetenze in a presa di derivate di funzioni algebriche.
