Esempi di dumande è discussione di l'applicazione di l'integrali in u calculu di l'area di un pianu pianu
In l'insignamentu di a matematica, l'integrali si scontranu spessu in u calculu. Una di l'applicazioni più cunnisciute di l'integrali hè u calculu di l'area sottu à una curva o un pianu. Questu articulu discuterà parechji esempi di prublemi è discuterà l'applicazione di l'integrali à u calculu di l'area di un pianu.
Introduzione à a Teoria
Prima di passà à u prublema d'esempiu, rivedemu u cuncettu basicu di calculà l'area sottu à una curva aduprendu integrali. Sè avemu una funzione f(x) chì hè cuntinua nantu à l'intervallu [a, b], allora l'area sottu à a curva y = f(x) da x = a à x = b hè:
L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometricamente, questu significa chì simu summendu l'area di un rettangulu assai finu da x = a à x = b.
Esempiu di dumanda 1
Dumanda
Calcula l'area sottu à a curva y = x² in l'intervallu [1, 3].
Discussione
Per calculà l'area, usemu l'integrale:
L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Cuminciamu per truvà l'antiderivata di \( x^2 \). L'antiderivata di \( x^2 \) hè \( \frac{x^3}{3} \). Allora l'integrale diventa:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Ricurdatevi chì ci vole à valutà l'antiderivata nantu à i limiti di l'integrale:
\[ L = ( \frac{3^3}{3} \right) – ( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = ( \frac{27}{3} \right) – ( \frac{1}{3} \right) \]
L = 9 – 1/3
L = 27/3 – 1/3
L = 26/3
Cusì, l'area sottu à a curva y = x² da x = 1 à x = 3 hè:
\[ \frac{26}{3} \, \text{unità di zona} \]
Esempiu di dumanda 2
Dumanda
Determinate l'area di a regione delimitata da a curva y = x³ è e linee x = 1 è x = 2.
Discussione
Per calculà l'area, usemu l'integrale:
L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Cum'è di solitu, cuminciamu per truvà l'antiderivata di \( x^3 \). L'antiderivata di \( x^3 \) hè \( \frac{x^4}{4} \). L'integrale diventa:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Valutate i limiti di l'integrale:
\[ L = ( \frac{2^4}{4} \right) – ( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = ( \frac{16}{4} \right) – ( \frac{1}{4} \right) \]
L = 4 – 1/4
L = 16/4 – 1/4
L = 15/4
Cusì, l'area sottu à a curva y = x³ da x = 1 à x = 2 hè:
\[ \frac{15}{4} \, \text{unità di zona} \]
Esempiu di dumanda 3
Dumanda
Determinate l'area di a regione delimitata da e curve y = x² + 1 è y = 2x + 2 in l'intervallu x = 0 à x = 1.
Discussione
Prima, ci vole à truvà i punti d'intersezione per determinà i limiti di l'integrazione. A suluzione à \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Usendu a formula quadratica:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Tuttavia, per i limiti superiore è inferiore trà 0 è 1, ùn avemu micca bisognu di utilizà a suluzione quadratica, solu u limite integrale ordinariu da 0 à 1. Dopu, calculate l'area di a curva y superiore menu a curva y inferiore secondu questi limiti:
L = (0, 1) [(2x + 2) – (x^2 + 1)] dx
Simplificazione di a funzione:
L = (2x + 2 – x^2 – 1) dx
L = int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) dx
Dopu, truvemu l'antiderivata:
L'antiderivata di \( (-x^2) \) hè \( -\frac{x^3}{3} \),
L'antiderivata di \( (2x) \) hè \( x^2 \),
L'antiderivata di \( (1) \) hè \( x \).
Cusì,
L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Prussima valutazione:
L = [-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1] – [-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0]
L = [-\frac{1}{3} + 1 + 1] – [0]
L = -\frac{1}{3} + 2
L = 6/3 – 1/3
L = 5/3
Cusì, l'area di a regione delimitata da e curve y = x² + 1 è y = 2x + 2 nantu à l'intervallu [0, 1] hè:
\[ \frac{5}{3} \, \text{unità di zona} \]
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Da l'esempii sopra, pudemu vede cumu l'integrali ponu esse aduprati per calculà l'area sottu à una curva o trà duie curve. Cù una bona cunniscenza di i cuncetti basi di l'integrali è di e tecniche antiderivative, u calculu di queste aree diventa assai sistematicu è efficiente. Speremu chì questu articulu hà aumentatu a nostra cunniscenza di l'applicazione di l'integrali in u mondu reale, in particulare in u campu di a misurazione di l'area di e superfici piane.
