Esempiu di Dumande di Discussione Cumbinate
E cumminazzioni sò un cuncettu impurtante in a teoria di e probabilità è in a statistica, chì ci permette di cuntà u numeru di modi per selezziunà oggetti da un inseme senza tene contu di l'ordine. In e cumminazzioni, l'ordine di selezzione ferma invariatu, à u cuntrariu di e permutazioni, induve l'ordine di selezzione hè chjave. E cumminazzioni sò aduprate in una larga varietà di campi, da l'informatica è a biologia à l'ecunumia è a matematica. Questu articulu spiegherà u cuncettu basicu di e cumminazzioni è furnisce parechji esempi di prublemi è discussioni per aiutà a vostra capiscitura.
Cuncettu Basicu di Cumbinazione
Prima di passà à esempi di prublemi, cuminciamu cù una cunniscenza basica di e cumminazzioni.
A cumbinazione di \(n\) oggetti presi \(r\) à tempu hè indicata da a nutazione \(\binom{n}{r}\) o \(\mathbf{C}(n, r)\). A formula per calculà a cumbinazione hè:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \(n \) hè u numeru tutale d'oggetti dispunibili.
– \(r\) hè u numeru d'oggetti da selezziunà.
– ! (fattoriale) hè un'operazione matematica chì multiplica un numeru per tutti i numeri pusitivi sottu à ellu finu à 1.
Esempi di dumande è discussione
Esempiu di dumanda 1: Selezzione di una squadra da un gruppu di studienti
Quistione:
Ci sò 10 studienti in una classa. In quanti modi si pò selezziunà 4 studienti di a classa per participà à a cumpetizione ?
Discussione:
Usendu a formula di cumbinazione:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Calculà u fattoriale:
– (10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6!)
– (4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24)
– \(6! \) hè digià in cima, dunque pò annullà u 6! in \(10!\).
Cusì:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 × 9 × 8 × 7}{4 × 3 × 2 × 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Cusì, ci sò 210 modi per sceglie 4 studienti trà 10 studienti.
Esempiu di dumanda 2: Cumbinazioni cù insemi di carte
Quistione:
Da un mazzu di 52 carte, quanti modi ci sò per sceglie una manu di poker di 5 carte ?
Discussione:
Usendu a formula di cumbinazione:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Calculà u fattoriale:
– (52! = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 × 47!)
– (5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120)
– \(47! \) hè digià in cima, dunque pò annullà u 47! in \(52!\).
Cusì:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 × 51 × 50 × 49 × 48}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
Cusì, ci sò 2,598,960 modi per sceglie 5 carte trà 52 carte.
Esempiu di dumanda 3: Calculu di e cumminazzioni per a selezzione di e squadre sportive
Quistione:
Una squadra di basket hè cumposta da 15 ghjucadori. Sè l'allenatore vole selezziunà 5 ghjucadori cum'è titulari, in quanti modi si pò fà questu ?
Discussione:
Usendu a formula di cumbinazione:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
Calculà u fattoriale:
– (15! = 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10!)
– (5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120)
– \(10! \) hè digià in cima, dunque pò annullà u 10! in \(15!\).
Cusì:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 × 14 × 13 × 12 × 11}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
Cusì, ci sò 3,003 modi per sceglie 5 ghjucatori trà 15 ghjucatori.
Esempiu di dumanda 4: Cumbinazioni in biologia
Quistione:
In un ortu, ci sò 8 tipi di fiori diversi. In quanti modi si ponu selezziunà 3 tipi di fiori per fà una cumpusizione floreale ?
Discussione:
Usendu a formula di cumbinazione:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Calculà u fattoriale:
– (8! = 8 × 7 × 6 × 5!)
– (3! = 3 × 2 × 1 = 6)
– \(5! \) hè digià in cima, dunque pò annullà u 5! in \(8!\).
Cusì:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Cusì, ci sò 56 modi per sceglie 3 tipi di fiori trà 8 tipi di fiori.
Esempiu di dumanda 5: Cumbinazione in a custruzzione di squadre
Quistione:
Avete 12 libri diffirenti nantu à una scaffale. In quanti modi pudete sceglie 5 libri trà i 12 ?
Discussione:
Usendu a formula di cumbinazione:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Calculà u fattoriale:
– (12! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7!)
– (5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120)
– \(7! \) hè digià in cima, dunque pò annullà u 7! in \(12!\).
Cusì:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 × 11 × 10 × 9 × 8}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Cusì, ci sò 792 modi per sceglie 5 libri trà 12 libri.
Cunclusioni
E cumminazzioni sò un cuncettu assai utile in diversi campi, soprattuttu quandu avemu bisognu di sapè u numeru di modi per sceglie l'uggetti senza tene contu di l'ordine. Usendu a formula di cumbinazione basica \(\binom{n}{r}\), pudemu calculalli rapidamente è facilmente, basta chì capimu cumu funzionanu i fattoriali. Attraversu l'esempii sopra, speremu d'avè una capiscitura più cumpleta è più chjara di e cumminazzioni. Cuntinuate à praticà cù una varietà di prublemi per rinfurzà ulteriormente a vostra capiscitura.
