Esempi di dumande chì discutenu a funzione di distribuzione binomiale
A distribuzione binomiale hè una distribuzione di probabilità discreta chì descrive u numeru di successi in un esperimentu custituitu da un numeru di prove indipendenti cù dui risultati pussibuli: successu è fallimentu. Ogni prova hè chjamata prova, è a distribuzione binomiale hè spessu aduprata in situazioni induve u numeru di successi in un numeru di prove indipendenti hè d'interessu. In questu articulu, discuteremu i cuncetti basi di a distribuzione binomiale è furniremu esempi è suluzioni.
Cuncetti basi di a funzione di distribuzione binomiale
Prima di entre in l'esempii di dumande è discussioni, discurremu alcuni cuncetti basi relativi à a distribuzione binomiale.
1. Definizione: A distribuzione binomiale hè definita cum'è a somma di successi in 'n' prove indipendenti, induve ogni prova hà dui risultati pussibuli: successu (cù probabilità p) o fallimentu (cù probabilità q = 1 – p).
2. Funzione di probabilità: A funzione di probabilità di a distribuzione binomiale hè:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Induve:
– \(P(X = k) \) hè a probabilità d'avè k successi in n prove.
– \( \binom{n}{k} \) hè una cumbinazione di n piglia k, chì hè definita cum'è \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p\) hè a probabilità di successu in ogni prova.
– \( (1-p) \) hè a probabilità di fallimentu in ogni prova.
3. Valore previstu è varianza:
– U valore previstu (media) di a distribuzione binomiale hè ∑(μ = np).
– A varianza di a distribuzione binomiale hè \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Avà, applichemu sti cuncetti in un esempiu di prublema per furnisce una cunniscenza più profonda.
Esempiu di dumanda 1: Calculi basi di a distribuzione binomiale
Quistione:
Una sucietà produce cumpunenti elettronichi cù una probabilità di 0.95 chì ogni cumpunente passi una prova di qualità. Sè 10 cumpunenti sò prudutti, calculate a probabilità chì esattamente 8 cumpunenti passinu a prova di qualità.
Discussione:
Pudemu aduprà a formula di distribuzione binomiale per risolve stu prublema. Prima, identifichemu i seguenti parametri:
– \(n \) (numeru tutale di prove) = 10
– \(k \) (numeru di successi) = 8
– \(p \) (probabilità di successu) = 0.95
– \(q \) (probabilità di fallimentu) = 1 – 0.95 = 0.05
Dopu, sustituite sti valori in a formula di distribuzione binomiale:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Prima, calculate a cumbinazione \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 × 9 × 8!}{8! × 2!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45
\]
Dopu, calculate e probabilità \( (0.95)^8 \) è \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \circa 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Infine, multiplicate tutti questi valori per ottene:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ± 0.0744
\]
Cusì, a probabilità chì esattamente 8 cumpunenti nantu à 10 passinu a prova di qualità hè di circa 0.0744 o 7.44%.
Esempiu di dumanda 2: Probabilità cumulativa
Quistione:
Sempre cù a listessa sucietà, calcula a probabilità chì almenu 9 cumpunenti nantu à 10 passinu a prova di qualità.
Discussione:
Per risolve stu prublema, ci vole à calculà a probabilità cumulativa. A probabilità chì almenu 9 cumpunenti su 10 passinu a prova significa chì calculemu \( P(X \geq 9) \), chì pò esse scrittu cum'è:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Usendu a formula di distribuzione binomiale:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Prima, calculate a cumbinazione per ogni casu:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Dopu, calculate e probabilità per \(P(X = 9) \) è \(P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \circa 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ± 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \circa 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Probabilità tutale per \(P(X \geq 9) \):
\[
P(X ∫9) = 0.3151 + 0.5987 ∫circa 0.9138
\]
Cusì, a probabilità chì almenu 9 cumpunenti nantu à 10 passinu a prova di qualità hè di circa 0.9138 o 91.38%.
Esempiu di dumanda 3: Valore previstu è varianza
Quistione:
Calcula u valore previstu è a varianza di u numeru di cumpunenti chì passanu a prova di qualità trà 10 cumpunenti prudutti, cù una probabilità di successu di 0.95.
Discussione:
Aduprate a formula seguente:
– Valore previstu (media) \( \mu = np \)
– Varianza \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Cù (n = 10) è (p = 0.95):
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
σ^2 = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]
Cusì, u valore previstu di u numeru di cumpunenti chì passanu a prova di qualità hè 9.5, è a varianza hè 0.475.
Cunclusioni
Attraversu i trè esempi di prublemi sopra, avemu discuttu cumu calculà a probabilità aduprendu a distribuzione binomiale per diverse situazioni: calculà a probabilità esatta, a probabilità cumulativa è calculà u valore previstu è a varianza. A cunniscenza di a distribuzione binomiale hè utile in diversi campi, cum'è a fabricazione, a ricerca medica è e statistiche suciali, induve i risultati di esperimenti ripetuti cù dui risultati pussibuli ponu esse analizati per aiutà a presa di decisioni. Speremu chì l'esempii di prublemi è e discussioni furnite vi aiuteranu à migliurà a vostra comprensione di a distribuzione binomiale.
