Com calcular la desviació estàndard
Comprensió de la desviació estàndard
La desviació estàndard és un concepte fonamental en estadística que mesura l'abast de la variació o dispersió en un conjunt de valors de dades. En termes més senzills, indica quant difereixen els punts de dades individuals d'un conjunt de dades de la mitjana (promig) del conjunt de dades. Una desviació estàndard baixa significa que els punts de dades tendeixen a estar a prop de la mitjana, mentre que una desviació estàndard alta indica que els punts de dades estan dispersos en un ampli rang de valors.
La desviació estàndard s'utilitza àmpliament en camps com les finances, l'economia, l'enginyeria i les ciències naturals per analitzar dades i prendre decisions informades. En aquest article, explorarem el procés pas a pas per calcular la desviació estàndard, tant manualment com mitjançant programari estadístic.
Càlcul pas a pas de la desviació estàndard
Per calcular la desviació estàndard, seguiu aquests passos:
1. Determina la mitjana (promedio):
– Suma tots els punts de dades.
– Dividiu la suma pel nombre de dades.
– La fórmula de la mitjana (μ per a una població, \(\bar{x}\) per a una mostra) és:
\[
Mitjana (μ) = \frac{\sum{X_i}}{N}
\]
on:
\( \sum \) = suma de,
\(X_i\) = cada punt de dades individual,
\(N\) = nombre total de punts de dades.
2. Resteu la mitjana i eleveu al quadrat el resultat:
– Resteu la mitjana de cada punt de dades i eleveu el resultat al quadrat. Aquest pas també es coneix com a mesura de la desviació de cada punt de dades respecte a la mitjana.
\[
(X_i – μ)^2
\]
3. Calcula la mitjana d'aquestes desviacions quadrades:
– Suma totes les desviacions al quadrat.
– Dividiu aquesta suma pel nombre de punts de dades si calculeu per a una població o pel nombre de punts de dades menys un si calculeu per a una mostra.
\[
Variància de la població (\sigma^2) = \frac{\sum{(X_i – \mu)^2}}{N}
\]
\[
Variància de la mostra (s^2) = \frac{\sum{(X_i – \bar{x})^2}}{n-1}
\]
4. Calcula l'arrel quadrada de la variància:
– La desviació estàndard és l'arrel quadrada de la variància, que contraresta l'efecte del pas anterior d'elevació al quadrat i proporciona una mesura de dispersió en les unitats de mesura originals.
\[
Desviació estàndard de la població (\sigma) = \sqrt{\sigma^2}
\]
\[
Desviació estàndard de la mostra (s) = \sqrt{s^2}
\]
Exemple de càlcul de la desviació estàndard
Considerem una mostra de les puntuacions dels exàmens de cinc estudiants: 85, 90, 92, 88 i 91. Calculem la desviació estàndard per a aquesta mostra.
1. Calcula la mitjana:
\[
x = 85 + 90 + 92 + 88 + 91/5 = 446/5 = 89.2
\]
2. Calcula cada desviació de la mitjana, eleva-la al quadrat:
\[
(85 – 89.2)^2 = 17.64
\]
\[
(90 – 89.2)^2 = 0.64
\]
\[
(92 – 89.2)^2 = 7.84
\]
\[
(88 – 89.2)^2 = 1.44
\]
\[
(91 – 89.2)^2 = 3.24
\]
3. Troba la mitjana de les desviacions quadrades:
\[
s^2 = \frac{17.64 + 0.64 + 7.84 + 1.44 + 3.24}{5 – 1} = \frac{30.8}{4} = 7.7
\]
4. Calcula l'arrel quadrada de la variància:
\[
s = \sqrt{7.7} \approx 2.78
\]
La desviació estàndard de les puntuacions de l'examen és aproximadament de 2.78.
Ús de programari estadístic
Tot i que els càlculs manuals proporcionen una comprensió fonamental de com es determina la desviació estàndard, l'ús de programari estadístic pot simplificar significativament aquest procés, especialment per a conjunts de dades grans. Aquí teniu algunes eines comunes i com utilitzar-les per calcular la desviació estàndard:
– Microsoft Excel:
– Introduïu les vostres dades en una columna.
– Feu servir la fórmula `=STDEV.S(rang)` per a una mostra o `=STDEV.P(rang)` per a una població.
– Programació en R:
"`R
dades <- c(85, 90, 92, 88, 91) sample_sd <- sd(dades) ``` - Python : ```python import numpy as np dades = [85, 90, 92, 88, 91] sample_sd = np.std(dades, ddof=1) ``` L'ús de programari proporciona resultats precisos amb només unes poques ordres, cosa que permet una anàlisi estadística ràpida. Importància de la desviació estàndard La desviació estàndard és més que un simple nombre; juga un paper crucial en l'anàlisi de dades i la presa de decisions: - Mercats financers: ajuda a avaluar la volatilitat dels rendiments dels actius. - Control de qualitat: mesura la consistència dels productes fabricats. - Recerca científica: ajuda a comprendre la variabilitat de les dades experimentals. - Educació: avalua la dispersió de les puntuacions dels estudiants al voltant de la mitjana. A més, la desviació estàndard és fonamental per a diversos mètodes estadístics, inclosos els intervals de confiança i les proves d'hipòtesis. Conclusió Comprendre i calcular la desviació estàndard és essencial per analitzar la dispersió de les dades al voltant de la mitjana. Tant si ho feu manualment per a conjunts de dades petits com si feu servir programari estadístic per a conjunts de dades més grans, dominar aquest concepte millora la vostra capacitat d'analitzar críticament les dades. A mesura que us sentiu més còmodes amb aquests càlculs, descobrireu que la desviació estàndard ofereix informació valuosa sobre la consistència i la fiabilitat de les vostres dades.
