Com calcular la variància
La variància és una mesura estadística que representa el grau de dispersió en un conjunt de dades. Indica quant es desvien els punts de dades individuals de la mitjana (valor mitjà) del conjunt de dades. Comprendre la variància és crucial per a l'anàlisi estadística, ja que pot revelar la consistència i la fiabilitat d'un conjunt de dades. Tant si sou estudiants, investigadors o analistes de dades, és essencial comprendre el concepte de variància i saber com calcular-la. Aquest article us guiarà sobre què és la variància, la seva importància i el procediment pas a pas per calcular la variància tant per a una mostra com per a una població.
Comprensió de la variància
Per començar, definim alguns termes essencials associats amb la variància:
– Mitjana (μ o x̄): La mitjana dels punts de dades.
– Desviació: la diferència entre cada punt de dades i la mitjana.
– Desviació al quadrat: la desviació de cada punt de dades elevada al quadrat per eliminar els valors negatius.
– Variància (σ² o s²): La mitjana d'aquestes desviacions al quadrat.
Importància de la variància
La variància té diverses funcions en estadística:
1. Indicador de dispersió: mentre que la mitjana proporciona una xifra central, la variància mostra com de dispersos estan els números al voltant de la mitjana.
2. Avaluació de riscos: En finances, una variància més alta sovint significa un risc més alt, ja que els rendiments dels actius estan més dispersos.
3. Control de qualitat: En la fabricació, la variància s'utilitza per garantir que els productes compleixin certs estàndards de qualitat mitjançant el control de la consistència.
4. Prova d'hipòtesi: la variància és un component clau en diverses proves estadístiques, com ara les proves t i l'ANOVA.
Càlcul de la variància per a una població
Quan es tracta d'un conjunt complet de dades, es calcula la variància de la població.
Passos per calcular la variància poblacional:
1. Troba la mitjana: suma tots els punts de dades i divideix-los pel nombre de punts de dades.
2. Calcula les desviacions: Resta la mitjana de cada punt de dades per obtenir la desviació.
3. Elevar al quadrat les desviacions: elevar al quadrat cada desviació per fer que tots els valors siguin positius.
4. Suma les desviacions al quadrat: suma totes les desviacions al quadrat.
5. Calcula la variància: divideix el total pel nombre de punts de dades (N).
Fórmula:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i – \mu)^2}{N} \]
Exemple:
Considerem un conjunt de dades [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9].
– Mitjana (μ) = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 5
– Desviacions: [2-5, 4-5, 4-5, 4-5, 5-5, 5-5, 7-5, 9-5] = [-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4]
– Desviacions quadrades: [9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16]
– Suma de desviacions al quadrat: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
– Variància (σ²) = 32 / 8 = 4
Càlcul de la variància per a una mostra
Quan teniu un subconjunt de dades d'una població més gran, tracteu amb la variància mostral. La fórmula ajusta la representació de la mostra de tota la població utilitzant \(N-1\) en lloc de \(N\).
Passos per calcular la variància mostral:
1. Trobeu la mitjana mostral: sumeu tots els punts de dades mostrals i dividiu-los pel nombre de punts mostrals.
2. Calcular desviacions: Restar la mitjana mostral de cada punt de dades.
3. Elevar al quadrat les desviacions: Elevar al quadrat cada desviació.
4. Suma de les desviacions al quadrat: suma totes les desviacions al quadrat.
5. Calcula la variància: divideix el total pel nombre de punts de dades menys un (N-1).
Fórmula:
\[ s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{N-1} \]
Exemple:
Considereu el conjunt de dades de mostra [3, 7, 7, 19].
– Mitjana mostral (x̄) = (3+7+7+19) / 4 = 9
– Desviacions: [3-9, 7-9, 7-9, 19-9] = [-6, -2, -2, 10]
– Desviacions quadrades: [36, 4, 4, 100]
– Suma de desviacions al quadrat: 36 + 4 + 4 + 100 = 144
– Variància (s²) = 144 / (4-1) = 144 / 3 = 48
Interpretació de la variància
Una variància alta indica que els punts de dades estan més allunyats de la mitjana, mentre que una variància baixa significa que estan més a prop de la mitjana. Tanmateix, la variància no sempre és fàcil d'interpretar directament perquè està en unitats quadrades. Per tornar a les unitats originals de les dades, sovint prenem l'arrel quadrada de la variància, que ens dóna la desviació estàndard (σ o s).
Desviació estàndard:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
\[s = \sqrt{s^2} \]
En l'exemple de població anterior, la desviació estàndard seria:
\[ \sigma = \sqrt{4} = 2 \]
Errors comuns a evitar
1. Fórmules confuses entre població i mostra: recordeu que la variància de la població utilitza \(N\) mentre que la variància de la mostra utilitza \(N-1\).
2. Pas de negligència al quadrat: elevar al quadrat les desviacions és crucial per eliminar els valors negatius.
3. Oblidar d'aplicar la mitjana: les desviacions sempre es calculen de la mitjana.
Eines i programari
Tot i que calcular la variància manualment és excel·lent per entendre el concepte, a la pràctica podeu utilitzar programari com ara Microsoft Excel, Python, R o eines estadístiques especialitzades que poden calcular la variància ràpidament:
– Excel: utilitzeu `VAR.P()` per a la variància de la població i `VAR.S()` per a la variància de la mostra.
– Python: utilitzeu `numpy.var()` per a la variància de la població i definiu el paràmetre `ddof=1` per a la variància de la mostra.
– R: Feu servir `var()` per a la variància de la mostra. Per a la variància de la població, multipliqueu el resultat per `(N-1)/N`.
Conclusió
Comprendre i calcular la variància és fonamental per a qualsevol persona involucrada en l'anàlisi de dades. Us dóna una idea de la dispersió de les dades i és un trampolí per a anàlisis estadístiques més complexes. Seguint els passos descrits i evitant els errors comuns, podeu calcular i interpretar la variància amb precisió, proporcionant així informació estadística sòlida.
