kretanje projektila

Članak o kretanju projektila i primjeri problema s rješenjima

Početna brzina (v_o) i komponente početne brzine (v_ox i v_oy)

Objekat čija parabolična kretanja uvijek imaju početnu brzinu. Budući da je parabolično kretanje kombinacija kretanja u horizontalnom i vertikalnom smjeru, početna brzina također ima horizontalnu i vertikalnu komponentu.

Ako se objekt kreće parabolično kao na slikama 1 i 3, tada se početna brzina u horizontalnom smjeru (v _ox ) i početna brzina u vertikalnom smjeru (v _oy ) izračunavaju pomoću jednadžbe:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Ako se objekat kreće parabolično kao na slici 2, tada je v _o = v _ox (v _oy = 0)

Brzina (v)_x i v_y) i Pozicija (x i y)

Brzina u horizontalnom i vertikalnom smjeru u određenom vremenskom intervalu izračunava se pomoću jednačine:

v _x = v _ox = konstanta ( jednoliko linearno kretanje )

v _y = v _oy + gt ili v _y ² = v _oy ² + 2 gh (kretanje u slobodnom padu)

Položaj objekata u horizontalnom (x) i vertikalnom (y) smjeru u određenom vremenskom intervalu izračunava se pomoću jednačine:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Rezultanta brzine (v) i položaja (h)

Rezultantna brzina u određenom vremenskom intervalu izračunava se pomoću jednačine:

Smjer objekata u određenom vremenskom intervalu izračunava se pomoću jednačine:

Napomene:

1. Horizontalna komponenta paraboličnog kretanja se smatra uniformnim linearnim kretanjem, tako da je vox = vx uvijek konstanta

2. Vertikalna komponenta paraboličnog kretanja se posmatra kao kretanje slobodnog pada, tako da ako se objekat kreće parabolično, kao što je prikazano na slikama 1 i 3, vertikalna komponenta brzine objekta na maksimalnoj visini je nula (v _y = 0). Ako bacite klikeru uspravno prema gore na maksimalnoj visini, objekat miruje trenutak (v _y = 0) prije nego što se okrene prema dolje. Stoga je brzina objekta koji se kreće parabolično na maksimalnoj visini = v _x = v _ox

3. Ako se objekt kreće parabolično kao što je prikazano na Slici 2, vertikalna komponenta paraboličnog kretanja se posmatra kao kretanje slobodnog pada. Ako se objekt kreće parabolično kao na Slici 1 i 3, tada se vertikalna komponenta paraboličnog kretanja posmatra kao vertikalno kretanje prema gore.

Primjeri problema:

1. Metak je ispaljen u horizontalnom smjeru s početnom brzinom od 20 m/s. Ako se puška nalazi 5 metara iznad tla, odredite:

(a) vrijeme u zraku

(b) maksimalna visina

(c) horizontalna udaljenost

(d) brzina metka kada udari u tlo

rješenje:

Kretanje u horizontalnom smjeru se analizira kao ravnomjerno linearno kretanje, dok se kretanje u vertikalnom smjeru analizira kao kretanje slobodnog pada.

Poznato:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Vrijeme u zraku

Rješenje je određivanje vremenskog intervala (t) u slobodnom padu.

Poznato: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Traži se: t

b) Maksimalna visina

Maksimalna visina = h = 5 metara.

c) Horizontalna udaljenost (d)

Rješenje je kao određivanje udaljenosti pri ravnomjernom linearnom kretanju

Poznato: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekunda

Traži se: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Brzina kada metak udari u tlo

vtx = _vox = 20 m/ _s

v _ty = ?

Prvo, izračunavamo konačnu brzinu u vertikalnom smjeru (vty). Rješenje je kao određivanje konačne brzine kretanja u slobodnom padu.

Poznato: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Traži se: veoma dobar _/dobra

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt ₌ 9.8 m/s

Brzina metka pri udaru u tlo:

Smjer metka:

Budući da je v _tx u smjeru pozitivne x-ose (desno), a v _ty u smjeru negativne y-ose (prema dolje),

Smjer metka pri udaru u tlo je -26.1 ^° u odnosu na pozitivnu x-osu (vidi sliku ispod).

2. Top je ispalio metak pod uglom od 30 ^° u odnosu na horizontalu brzinom od 60 m/s. Odredite:

(a) maksimalna visina

(b) brzina metka na maksimalnoj visini

(c) vrijeme u zraku

(d) horizontalna udaljenost

(e) brzina metka kada udari u tlo. Pretpostavimo da je tlo ravno. 🙂

rješenje:

Kretanje u horizontalnom smjeru se analizira kao ravnomjerno linearno kretanje, kretanje u vertikalnom smjeru se analizira kao vertikalno kretanje prema gore.

Poznato: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Na osnovu poznatih podataka, prvo izračunavamo vertikalnu (v _oy ) i horizontalnu (v _ox ) komponentu početne brzine (v _o ).

a) Maksimalna visina (h)

Rješenje je kao određivanje maksimalne visine pri vertikalnom kretanju prema gore.

Poznato:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maksimalna visina (h)

Rješenje je kao određivanje maksimalne visine pri vertikalnom kretanju prema gore.

Poznato:

v _oy = 30 m/s (ovo je početna brzina metka)

v _ty = 0 m/s (Na maksimalnoj visini, vertikalna brzina metka = 0 m/s. Ovo je konačna brzina.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Traži se: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 sati

900 = 19.6 sati

h = 900 / 19.6

h = 45.9 metara

Maksimalna visina koju je metak postigao = 45.9 metara.

b) Brzina na maksimalnoj visini

Na maksimalnoj visini, brzina u vertikalnom smjeru = 0 m/s. Na maksimalnoj visini, postoji samo brzina u horizontalnom smjeru. Brzina u horizontalnom smjeru na maksimalnoj visini jednaka je početnoj brzini u horizontalnom smjeru, koja iznosi 52.2 m/s. Smjer brzine u horizontalnom smjeru je uvijek konstantan, odnosno u smjeru pozitivne x-ose (ako je kretanje objekta opisano na gornjem dijagramu).

c) Vrijeme u zraku

Rješenje je kao određivanje vremenskog intervala (t) u diskusiji o vertikalnom kretanju prema gore.

Poznato:

v _oy = 30 m/s (ovo je početna brzina metka u vertikalnom smjeru)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (kada se metak vrati na tlo, pomjeranje metka u vertikalnom smjeru = 0 m)

Traži se: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekundi

Vrijeme u zraku = 6.12 sekundi

d) Horizontalna udaljenost (d)

Rješenje je kao određivanje udaljenosti (d) pri ravnomjernom linearnom kretanju.

Poznato:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekundi

Traži se: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekundi) = 319.5 m

e) Brzina kada metak udari u tlo

vtx = _vox = 52.2 m/ _s

v _ty = ?

Prvo, izračunavamo konačnu brzinu u vertikalnom smjeru (v _ty ). Rješenje je odrediti konačnu brzinu pri vertikalnom kretanju prema gore.

Traži se: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekundi

Traži se: veoma dobar _/dobra

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Negativni predznak označava da je smjer konačne brzine prema dolje. Treba napomenuti da je početna brzina u vertikalnom smjeru jednaka konačnoj brzini u vertikalnom smjeru.

Brzina metka pri udaru u tlo:

Smjer metka:

Pošto je v _tx u smjeru pozitivne x-ose (desno), a vty u smjeru negativne y-ose (prema dolje),

Smjer brzine metka pri udaru u tlo je -30 ^° u odnosu na pozitivnu x-osu (vidi sliku ispod).

3. Lopta je bačena s ruba zgrade visoke 50 metara početnom brzinom od 10 m/s. Ako je lopta bačena pod uglom od 30° u odnosu na horizontalu, odredite:

(a) vremenski interval u kojem lopta padne na tlo

(b) brzina lopte kada udari o tlo

(c) horizontalna udaljenost koju lopta može dosegnuti mjeri se od ruba zgrade

(d) maksimalna visina koju lopta dostigne

rješenje:

Prvo, izračunavamo vertikalnu komponentu (v _oy ) i horizontalnu komponentu (v _ox ) početne brzine (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Vremenski interval u kojem lopta padne na tlo

Rješenje je kao određivanje vremenskog intervala (t) u vertikalnom kretanju prema gore. Veličina vektora čiji je smjer prema gore odabrana je da bude pozitivna, veličina vektora čiji je smjer prema dolje odabrana je da bude negativna. Položaj lopte u koji je bačena odabran je kao referentna tačka. h je negativno jer je površina tla ispod referentne tačke, g je negativno jer je smjer ubrzanja gravitacije prema dolje.

Poznato:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Traži se: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Koristite kvadratnu formulu:

Vrijeme u zraku = vremenski interval od trenutka kada je lopta bačena do pada na tlo = 1.64 sekunde.

b) Brzina lopte kada udari o površinu tla

vtx = _vox = vx ₌ 8.7 m/ _s

v _ty = ?

Prvo, izračunavamo konačnu brzinu u vertikalnom smjeru (v _ty ). Rješenje je kao određivanje konačne brzine pri vertikalnom kretanju prema gore.

Poznato: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekunde

Traži se: veoma dobar _/dobra

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Negativni predznak označava da je smjer konačne brzine prema dolje.

Brzina metka pri udaru u tlo:

Smjer brzine metka = smjer kretanja metka kada udari u tlo:

Brzina metka pri udaru u tlo:

Budući da je vtx u smjeru pozitivne x-ose (desno), a vty u smjeru negativne y-ose (prema dolje),

Smjer metka pri udaru u tlo je -52° u odnosu na pozitivnu x-osu (vidi sliku ispod).

c) Horizontalna udaljenost koju lopta može dosegnuti mjeri se od ruba zgrade.

Rješenje je kao određivanje pređene udaljenosti (d) pri ravnomjernom linearnom kretanju.

Poznato: t = 1.64 sekunde, v _x = 8.7 m/s

Traži se: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Maksimalna visina koju lopta dostigne

Poznato: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikalna komponenta brzine na maksimalnoj visini = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Traži se: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 metra

Maksimalna visina koju lopta dostiže = 1.3 metra iznad vrha zgrade = 1.3 m + 50 m = 51.3 metra iznad površine tla.