Naziva se Poiseuilleova jednačina jer ju je otkrio pokojni Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Kao što je objašnjeno, svaki fluid se može smatrati idealnim fluidom. Idealni fluidi nemaju viskoznost. Ako zamislimo idealni fluid koji teče u cijevi, svaki dio fluida se kreće istom brzinom (v). Za razliku od idealnih fluida, stvarni fluidi, ili fluidi koje susrećemo u svakodnevnom životu, imaju viskoznost. Budući da imaju viskoznost, prilikom tečenja u cijevi, na primjer, brzina svakog dijela fluida varira. Sloj fluida u sredini se kreće brže (v je veliko), dok se sloj fluida pričvršćen za cijev ne kreće, tj. miruje (v = 0). Dakle, od centra do ruba cijevi, svaki dio fluida se kreće različitim brzinama. Da biste lakše razumjeli, pogledajte sliku ispod…
Informacije:
R = poluprečnik cijevi/tubula
v 1 = brzina protoka fluida u centru/osi cijevi
v2 = brzina protoka fluida na udaljenosti r2 od ruba cijevi
v3 = brzina protoka fluida na udaljenosti r3 od ruba cijevi
v4 = brzina protoka fluida na udaljenosti r4 od ruba cijevi
r = udaljenost
Da bi se osigurala ista brzina protoka svake tekućine, mora postojati razlika pritiska na oba kraja bilo koje cijevi kroz koju tekućina teče. Pod tekućinom ovdje mislimo na stvarne tekućine, poput vode ili ulja koje teče kroz cijev, krvi koja teče kroz krvne sudove itd. Osim što pomažu nesmetanom protoku stvarne tekućine, razlike u pritisku mogu također omogućiti tekućinama da teku u cijevima na različitim visinama.
Jean Louis Marie Poiseuille, bivši francuski naučnik zainteresovan za fizičke aspekte ljudske cirkulacije krvi, proveo je istraživanje kako bi istražio kako faktori poput razlika u pritisku, površine poprečnog presjeka cijevi i veličine cijevi utiču na brzinu strujanja fluida. Rezultati koje je dobio Jean Louis Marie Poiseuille poznati su kao Poiseuilleova jednačina.
Poiseuilleova jednačina se može izvesti korištenjem prethodno izvedene jednačine koeficijenta viskoznosti. Koristimo jednačinu viskoznosti jer je slučaj sličan, iako ne i identičan. Prilikom izvođenja jednačine koeficijenta viskoznosti, razmatramo tok realnog sloja fluida između dvije paralelne ploče, a fluid se može kretati zbog zatezne sile (F). Razlika je u tome što Poiseuilleova jednačina koju ćemo izvesti zapravo navodi faktore koji utiču na tok realnog fluida u cijevi, a fluid teče zbog razlike u pritisku. Stoga je potrebno ponovo prilagoditi jednačinu koeficijenta viskoznosti.
Fluidi mogu teći zbog razlika u pritisku (fluidi teku od mjesta sa visokim pritiskom do mjesta sa niskim pritiskom), pa F zamjenjujemo sa p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Prilikom izvođenja jednačine za koeficijent viskoznosti, razmatramo tok realnog sloja fluida između dvije paralelne ploče. Svaki dio fluida doživljava pravilnu promjenu brzine za udaljenost l. U ovom slučaju, brzina protoka fluida se pravilno mijenja od ose cijevi do ruba cijevi. Fluid na osi cijevi teče većom brzinom (v). Što je dalje prema rubu, brzina fluida se smanjuje. Poluprečnik cijevi = udaljenost između ose cijevi i ruba cijevi = R. Udaljenost između svakog dijela fluida i ruba cijevi = r. Budući da je broj svakog dijela fluida vrlo velik i njihova udaljenost od ruba cijevi također varira, jednostavno to pišemo ovako:
v 1 = brzina fluida na udaljenosti r1 od ruba cijevi (r1 = R)
v 2 = brzina fluida na udaljenosti r2 od ruba cijevi (r2 < r1)
v3 = brzina fluida na udaljenosti r3 od ruba cijevi (r3 < r2 < r1)
v 4 = brzina fluida na udaljenosti r4 od ruba cijevi (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = brzina fluida na udaljenosti rn od ruba cijevi (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Broj svakog dijela fluida je veoma velik i ne znamo tačno koliki je zapravo, pa je dovoljno da ga označimo simbolom n. Svaki dio fluida redovno doživljava promjenu brzine (v), od ose cijevi (r1 = R) do ruba cijevi (rn). Od ose cijevi (r1 = R) do ruba cijevi (rn), brzina svakog dijela fluida se smanjuje (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Iz gornjeg objašnjenja možemo steći predstavu da se od R do rn, brzina protoka fluida smanjuje. Dužina cijevi = L. Dobijena jednačina je:
Budući da razmatramo brzinu (v) protoka fluida, jednačina 2 postaje:
Ovo je jednačina za brzinu protoka fluida na udaljenosti r od cijevi s radijusom R. Ako ste zbunjeni dok gledate gornju sliku... Imajte na umu da fluid teče u cijevi, tako da moramo pregledati zapreminsku brzinu protoka fluida.
Unutar cijevi se nalazi fluid. Na primjer, fluid dijelimo na vrlo male dijelove, gdje svaki dio ima jediničnu površinu dA, udaljen je od ose cijevi i ima brzinu protoka v. Matematički, to se može napisati na sljedeći način:
dA1 = presjek fluida 1, koji je udaljen 1 od ose cijevi
dA2 = presjek fluida 2, koji je udaljen 2 od ose cijevi
dA3 = presjek fluida 3, koji je udaljen 3 od ose cijevi
………………………………….
dA n = presjek fluida n, koji predstavlja udaljenost dA n od ose cijevi
Postoji toliko mnogo fluidnih dijelova da ih je zgodno jednostavno označiti simbolom n. Volumenski protok svakog fluidnog dijela može se matematički zapisati na sljedeći način:
Svaki komad fluida je na udaljenosti od r = 0 do r = R (R = poluprečnik cijevi). Drugim riječima, udaljenost svakog komada fluida varira kada se mjeri od ose cijevi. Ako se poigramo sa integracijom, dobit ćemo jednačinu za volumski protok fluida u cijevi:
Informacije:
Q = Debitna
R = Unutrašnji radijus cijevi ili tubusa
η = Koeficijent viskoznosti
P1 – p2 = Razlika pritiska između dva kraja cijevi
L = Dužina cijevi
p1 -p2 / L = Gradijent pritiska (tok fluida uvijek ide u smjeru smanjenja pritiska )
Na osnovu gornje Poiseuilleove jednačine, čini se da je zapreminski protok fluida, tj. ispuštanje (Q), proporcionalan četvrtoj potenciji radijusa cijevi (R4 ) , gradijentu pritiska (p2 – p1 / L) i obrnuto proporcionalan viskoznosti. Ako se radijus cijevi poveća (koeficijent viskoznosti i gradijent pritiska ostaju konstantni), tada se protok fluida povećava za faktor 16.
Osnovni koncept dizajniranja cijevi, šprica i drugih stvari koristi ovu jednačinu. Brzina protoka fluida proporcionalna je R4 ( R = poluprečnik cijevi). Poluprečnik šprica ili poluprečnik cijevi treba pažljivo izračunati. Na primjer, ako udvostručimo poluprečnik igle (r x 2), tada brzina protoka fluida koja prska = povećava silu pritiska palca za 16 puta.
Poiseuilleova jednačina također pokazuje da je četvrta potencija radijusa (r4 ) obrnuto proporcionalna razlici pritiska između dva kraja cijevi. Na primjer, krv u početku teče u krvnom sudu s unutrašnjim radijusom r. Ako postoji suženje krvnog suda (na primjer, r/2 = unutrašnji radijus krvnog suda se smanji za 2 puta), tada je potrebna razlika pritiska od 16 puta da bi krv tekla kao i prije (tako da protok ili volumen krvi ostane konstantan).
