Primjeri pitanja o vektorima stupaca i vektorima redova
U matematici, posebno linearnoj algebri, vektori su fundamentalni koncept koji se često koristi u raznim primjenama, od modeliranja fizike do računanja. Vektori stupci i vektori redovi su dva oblika vektorske reprezentacije, svaki sa svojim karakteristikama i primjenom. Ovaj članak će razmotriti primjere problema i njihova rješenja koja uključuju vektore stupce i vektore redove.
Definicija vektora kolone i vektora reda
Prije nego što pređemo na primjere pitanja i njihovu diskusiju, prvo ćemo pregledati osnovne definicije vektora kolona i vektora redova.
– Vektori stupci su vektori raspoređeni u stupac, odnosno jednu vertikalnu dimenziju. Primjer:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Redni vektori su vektori raspoređeni u redove, odnosno u jednoj horizontalnoj dimenziji. Primjer:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Primjer 1: Dodavanje vektora kolona
Pitanje:
S obzirom na sljedeća dva vektora kolona:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Izračunajte zbir dva vektora kolone.
Rješenje:
Sabiranje dva vektora kolona se vrši sabiranjem njihovih odgovarajućih elemenata.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Dakle, zbir \(\mathbf{u}\) i \(\mathbf{v}\) je \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Primjer pitanja 2: Dodavanje vektora redova
Pitanje:
S obzirom na sljedeća dva redna vektora:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Izračunajte zbir dva vektora reda.
Rješenje:
Sabiranje dva redna vektora se vrši sabiranjem odgovarajućih elemenata.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Dakle, zbir \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\) je \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Primjer 3: Množenje skalara vektorima stupcima
Pitanje:
Zadani su vektor kolona \(\mathbf{c}\) i skalar \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Izračunajte rezultat skalarnog množenja.
Rješenje:
Množenje skalara vektorom kolonom se vrši množenjem svakog elementa vektora skalarom.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 puta -3
2 puta 4
2 puta 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Dakle, rezultat množenja skalara \(2\) vektorom kolone \(\mathbf{c}\) je \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Primjer pitanja 4: Množenje skalara vektorima redova
Pitanje:
Zadani su vektor reda \(\mathbf{d}\) i skalar \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Izračunajte rezultat skalarnog množenja.
Rješenje:
Množenje skalara vektorom reda se vrši množenjem svakog elementa vektora skalarom.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \puts 7 & -3 \puts -2 & -3 \puts 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Dakle, rezultat množenja skalara \(-3\) vektorom reda \(\mathbf{d}\) je \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Primjer 5: Množenje matrice \(1 \puta 3\) sa \(3 \puta 1\) (Vektor reda vektorom kolone)
Pitanje:
Dati vektor reda \(\mathbf{e}\) i vektor kolone \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Izračunajte proizvod dva vektora.
Rješenje:
Da bi se izvršilo množenje matrica, vektor reda \(\mathbf{e}\) se tretira kao \(1 \puta 3\) matrica, a vektor kolone \(\mathbf{f}\) se tretira kao \(3 \puta 1\) matrica. Rezultat ovog množenja je skalar, odnosno zbir proizvoda odgovarajućih elemenata:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 puta 5) + (-1 puta 3) + (4 puta -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Dakle, rezultat množenja vektora reda \(\mathbf{e}\) vektorom kolone \(\mathbf{f}\) je \(-1\).
Primjer 6: Množenje matrice \(3 \puta 1\) sa \(1 \puta 3\) (Vektor kolone vektorom reda)
Pitanje:
Zadani su vektor kolona \(\mathbf{g}\) i vektor reda \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Izračunajte proizvod dva vektora.
Rješenje:
Množenje matrice vektora kolone vektorom reda daje matricu (\(3 \puta 1\)) pomnoženu sa (\(1 \puta 3\)) koja daje matricu \(3 \puta 3\). Svaki novi element je proizvod svojih odgovarajućih elemenata:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 puta 4 i 1 puta 5 i 1 puta 6
2 puta 4 i 2 puta 5 i 2 puta 6
3 puta 4 i 3 puta 5 i 3 puta 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 i 5 i 6
8 i 10 i 12
12 i 15 i 18
\end{pmatrix}
\]
Dakle, rezultat množenja vektora kolone \(\mathbf{g}\) vektorom reda \(\mathbf{h}\) je matrica:
\[
\begin{pmatrix}
4 i 5 i 6
8 i 10 i 12
12 i 15 i 18
\end{pmatrix}
\]
Zaključak
U ovom članku smo vidjeli nekoliko primjera koji uključuju vektore kolone i redove. Sabiranje vektora kolone i reda postiže se sabiranjem njihovih odgovarajućih elemenata. Množenje skalara vektorom se također postiže množenjem svakog elementa vektora skalarom. Konačno, naučili smo kako množiti vektore redova i kolona, dajući ili skalar ili matricu, ovisno o njihovom redoslijedu. Savladavanje ovih osnovnih operacija je ključno za složenije primjene u linearnoj algebri i analizi podataka.
