Primjeri pitanja o dvodimenzionalnim vektorima u koordinatnom sistemu
Vektor je veličina koja ima i veličinu i smjer. Vektori se često koriste u raznim matematičkim i fizičkim temama za predstavljanje različitih pojava. U ovom članku ćemo razmotriti primjere dvodimenzionalnih vektora u koordinatnom sistemu.
Osnovni koncepti vektora u koordinatnim sistemima
Vektor u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu može se predstaviti kao \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), gdje je \(a_1\) x-komponenta vektora, a \(a_2\) y-komponenta vektora. Vektor se može rastaviti na dvije komponente, naime x-komponentu i y-komponentu.
Sabiranje i oduzimanje vektora
Sabiranje dva vektora \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) i \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) je:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Dok je smanjenje:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Skalarno množenje
Ako je \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) i \(k\) skalar, tada je \(k\vec{A}\):
\[
k\vec{A} = (k ∈ a_1, k ∈ a_2)
\]
Vektorska magnituda
Veličina ili dužina vektora \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) je:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Jedinični vektor
Jedinični vektor je vektor koji ima dužinu od jedne jedinice. Jedinični vektor od \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) je:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Primjeri pitanja i diskusija
Pitanje 1: Sabiranje i oduzimanje vektora
Dva vektora su data na sljedeći način: \(\vec{A} = (3, 4)\) i \(\vec{B} = (1, 2)\). Nađite proizvod \(\vec{A} + \vec{B}\) i \(\vec{A} – \vec{B}\).
Diskusija:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Pitanje 2: Skalarno množenje
Dat je vektor \(\vec{C} = (2, -3)\), izračunajte \(3\vec{C}\) i \(-2\vec{C}\).
Diskusija:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Pitanje 3: Vektorska magnituda
Izračunajte magnitudu vektora \(\vec{D} = (5, 12)\).
Diskusija:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Pitanje 4: Jedinični vektori
Pronađite jedinični vektor vektora \(\vec{E} = (4, 3)\).
Diskusija:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Pitanje 5: Položaj i udaljenost vektora
Dvije tačke u dvodimenzionalnoj koordinatnoj ravni su P(2, 3) i Q(5, 7). Odredite vektor položaja od tačke P do tačke Q i udaljenost između njih.
Diskusija:
Vektor pozicije od P do Q je:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Udaljenost između tačaka P i Q je:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Pitanje 6: Rezultat skalarnog proizvoda
Ako je \(\vec{F} = (-3, 4)\) i \(\vec{G} = (2, 1)\), izračunajte skalarni proizvod \(\vec{F} \cdot \vec{G}\).
Diskusija:
Skalarni proizvod dva vektora je:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Pitanje 7: Ugao između dva vektora
Ako je \(\vec{H} = (7, -4)\) i \(\vec{I} = (3, 0)\), odredite ugao između dva vektora.
Diskusija:
Da bismo odredili ugao između dva vektora, koristimo formulu:
\[
θ = θ | H | I | H | I
\]
Prvo, izračunajte skalarni proizvod \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Zatim, izračunajte magnitude \(\vec{H}\) i \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Unesite ove vrijednosti u formulu:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Dakle, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
Pitanje 8: Vektorska projekcija
Za vektore \(\vec{J} = (2, 1)\) i \(\vec{K} = (-1, 3)\), izračunajte projekciju \(\vec{J}\) na \(\vec{K}\).
Diskusija:
Projekcija \(\vec{J}\) na \(\vec{K}\) je:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \desno) \vec{K}
\]
Prvo, izračunajte skalarni proizvod \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Zatim, veličina \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Dakle,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Unesite u formulu:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \desno) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \desno) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \desno)
\]
Ovo su primjeri problema i diskusija vezanih za dvodimenzionalne vektore u koordinatnom sistemu. Dobro razumijevanje vektora može biti korisno u mnogim primjenama u matematici, fizici i inženjerstvu. Vježbanje s različitim primjerima može produbiti vaše razumijevanje ovog koncepta, omogućavajući mu da se efikasno primjenjuje u različitim situacijama.
