Primjeri pitanja o jednačinama naizmjenične struje
Pendahuluan
Naizmjenična struja (AC) je vrsta električne struje koja može periodično mijenjati smjer. Za razliku od jednosmjerne struje (DC), koja teče u jednom smjeru, AC ima sinusoidni oblik vala i ključna je u raznim svakodnevnim primjenama, od domaćinstva do industrije. Poznavanje rada s jednačinama naizmjenične struje ključno je za razumijevanje nekoliko važnih aspekata elektronike i elektriciteta. Ovaj članak će razmotriti nekoliko primjera problema i rješenja kako bi se razjasnio koncept jednačina naizmjenične struje.
Opšta jednačina naizmjenične struje
Naizmjenična struja se generalno izražava sinusoidnom jednačinom:
\[ i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi) \]
Gdje:
– \( i(t) \) je trenutna struja kao funkcija vremena.
– \( I_m \) je vršna (maksimalna) vrijednost struje.
– \( \omega \) je ugaona brzina, izražena u radijanima po sekundi.
– \( t \) je vrijeme.
– \( \phi \) je početna faza struje.
Primjer pitanja 1: Određivanje struje u određenom trenutku
Pitanje:
Data je jednačina naizmjenične struje \( i(t) = 10 \sin(100\π t + \π/3) \). Odredite veličinu struje u trenutku \( t = 0.01 \) sekundi.
Diskusija:
Poznato je:
\[ I_m = 10 \, \text{A} \]
\[ \omega = 100\pi \rad/s} \text{rad/s}
\[ \phi = \pi/3 \]
\[ t = 0.01 \, \text{sekundi} \]
Zamijenite ove vrijednosti u trenutnu jednačinu:
\[ i(0.01) = 10 \sin(100\pi \puta 0.01 + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(\pi + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(4\pi/3) \]
Napomenuto je da:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sin(\pi/3) \]
\[ \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 \]
Dakle:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = 10 \puta - \sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = -5\sqrt{3} \]
\[ i(0.01) \približno -8.66 \, \text{A} \]
Dakle, magnituda struje u trenutku \( t = 0.01 \) sekundi je približno \(-8.66 \, \text{A} \).
Primjer pitanja 2: Određivanje ugaone brzine i frekvencije
Pitanje:
Za naizmjeničnu struju izraženu jednačinom (i(t) = 5 \cos(200\π t – \π/4) \), odredite ugaonu brzinu (ω) i frekvenciju (f) struje.
Diskusija:
Dato:
\[ i(t) = 5 \cos(200\π t – \π/4) \]
Ugaona brzina (\( \omega \)) je koeficijent \( t \) u kosinusnom argumentu, koji je \( 200 \pi \).
\[ \omega = 200\pi \rad/s} \text{rad/s}
Frekvencija (f) se može dobiti korištenjem relacije:
\omega = 2π f
\[f = \frac{\omega}{2\pi} \]
Zamijenite vrijednost ugaone brzine:
\[f = \frac{200\pi}{2\pi} \]
\[f = 100 \, \text{Hz} \]
Dakle, ugaona brzina struje je \( 200\pi \text{rad/s} \), a frekvencija struje je \( 100 \text{Hz} \).
Primjer pitanja 3: Određivanje efektivne vrijednosti (RMS)
Pitanje:
Za naizmjeničnu struju datu kao \( i(t) = 7 \sin(50t) \), odredite efektivnu vrijednost (RMS - root mean square - korijen srednje kvadratne vrijednosti).
Diskusija:
Poznato je:
\[ i(t) = 7 \sin(50t) \]
RMS vrijednost za sinusoidnu struju je:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
gdje je \( I_m \) vršna vrijednost struje.
Vršna vrijednost struje (I_m) je 7 A.
Dakle:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2} \]
\[ I_{\text{RMS}} \približno 4.95 \, \text{A} \]
Dakle, efektivna vrijednost za tu struju je oko 4.95 A.
Primjer pitanja 4: Izračunavanje prosječne snage
Pitanje:
Električno kolo se sastoji od otpornika od 10 oma i ima naizmjeničnu struju \( i(t) = 6 \sin(120\π t) \). Izračunajte prosječnu snagu koju troši otpornik.
Diskusija:
S obzirom na trenutno stanje:
\[ i(t) = 6 \sin(120\π t) \]
Vršna vrijednost struje (\( I_m \)) je 6 A.
RMS vrijednost struje je:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = 3\sqrt{2} \]
Otpornik (\( R \)) = 10 oma.
Prosječna snaga (\(P \)) u otporniku može se izračunati na sljedeći način:
P = I_{\text{RMS}}^2 \puta R \]
P = (3\sqrt{2})^2 \puta 10 \]
\[P = 18 \puta 10 \]
\[ P = 180 \, \text{W} \]
Dakle, prosječna snaga koju troši otpornik je 180 W.
Zatvaranje
U ovom članku smo obradili nekoliko primjera problema i razgovarali o jednačinama za naizmjeničnu struju. Poznavanje načina izračunavanja struje po jedinici vremena, ugaone brzine, frekvencije, efektivne vrijednosti (RMS) i prosječne snage ključno je za razumijevanje naizmjenične struje i njene primjene u svakodnevnom životu. Razumijevanje ovih koncepata pomaže nam da dizajniramo i analiziramo različita električna kola koja koriste naizmjeničnu struju.
