Primjeri pitanja i diskusija o primjeni integrala u izračunavanju površine ravne ravni
U nastavi matematike, integrali se često susreću u računu. Jedna od najpoznatijih primjena integrala je izračunavanje površine ispod krive ili ravni. Ovaj članak će razmotriti nekoliko primjera problema i razmotriti primjenu integrala za izračunavanje površine ravni.
Uvod u teoriju
Prije nego što pređemo na primjer problema, pregledajmo osnovni koncept izračunavanja površine ispod krive pomoću integrala. Ako imamo funkciju f(x) koja je neprekidna na intervalu [a, b], tada je površina ispod krive y = f(x) od x = a do x = b:
\[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometrijski, to znači da sumiramo površinu vrlo tankog pravougaonika od x = a do x = b.
Primjer pitanja 1
Pitanje
Izračunajte površinu ispod krive y = x² u intervalu [1, 3].
Diskusija
Za izračunavanje površine koristimo integral:
\[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Počinjemo pronalaženjem antideriva od \(x^2 \). Antideriv od \(x^2 \) je \( \frac{x^3}{3} \). Tada integral postaje:
\[ L = \lijevo[ \frac{x^3}{3} \desno]_{1}^{3} \]
Zapamtite da moramo izračunati antiderivaciju na limesima integrala:
\[ L = \lijevo( \frac{3^3}{3} \desno) – \lijevo( \frac{1^3}{3} \desno) \]
\[ L = \lijevo( \frac{27}{3} \desno) – \lijevo( \frac{1}{3} \desno) \]
\[L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{26}{3} \]
Dakle, površina ispod krive y = x² od x = 1 do x = 3 je:
\[ \frac{26}{3} \, \text{jedinica površine} \]
Primjer pitanja 2
Pitanje
Odredite površinu područja ograničenog krivuljom y = x³ i linijama x = 1 i x = 2.
Diskusija
Za izračunavanje površine koristimo integral:
\[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Kao i obično, počinjemo pronalaženjem antideriva od \(x^3 \). Antideriv od \(x^3 \) je \( \frac{x^4}{4} \). Integral postaje:
\[ L = \lijevo[ \frac{x^4}{4} \desno]_{1}^{2} \]
Izračunajte granice integrala:
\[ L = \lijevo( \frac{2^4}{4} \desno) – \lijevo( \frac{1^4}{4} \desno) \]
\[ L = \lijevo( \frac{16}{4} \desno) – \lijevo( \frac{1}{4} \desno) \]
\[L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{15}{4} \]
Dakle, površina ispod krive y = x³ od x = 1 do x = 2 je:
\[ \frac{15}{4} \, \text{jedinica površine} \]
Primjer pitanja 3
Pitanje
Odredite površinu područja ograničenog krivuljama y = x² + 1 i y = 2x + 2 u intervalu od x = 0 do x = 1.
Diskusija
Prvo, moramo pronaći tačke presjeka kako bismo odredili granice integracije. Rješenje za \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Koristeći kvadratnu formulu:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Međutim, za gornju i donju granicu između 0 i 1, ne moramo koristiti kvadratno rješenje, već samo običnu integralnu granicu od 0 do 1. Zatim, izračunajmo površinu gornje y krive minus donju y krivulju prema ovim granicama:
\[L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Pojednostavljenje funkcije:
\[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Zatim, nalazimo antiderivaciju:
Antiderivacija od \( (-x^2) \) je \( -\frac{x^3}{3} \),
Antiderivacija od \( (2x) \) je \( x^2 \),
Antiderivacija od \( (1) \) je \( x \).
tako da,
\[ L = \lijevo. \lijevo(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \desno) \desno|_0^1 \]
Sljedeća evaluacija:
\[ L = \lijevo[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \desno] – \lijevo[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \desno] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \desno] – \left[ 0 \desno] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{5}{3} \]
Dakle, površina regije ograničene krivuljama y = x² + 1 i y = 2x + 2 na intervalu [0, 1] je:
\[ \frac{5}{3} \, \text{jedinica površine} \]
-
Iz gornjih primjera možemo vidjeti kako se integrali mogu koristiti za izračunavanje površine ispod krive ili između dvije krive. Uz pravilno razumijevanje osnovnih koncepata integrala i antiderivacijskih tehnika, izračunavanje ovih površina postaje vrlo sistematično i efikasno. Nadamo se da je ovaj članak povećao naše razumijevanje primjene integrala u stvarnom svijetu, posebno u oblasti mjerenja površine ravnih površina.
