Primjeri pitanja o vjerovatnoći složenih događaja
Uvod u vjerovatnoću složenih događaja
Vjerovatnoća je grana matematike koja proučava vjerovatnoću da će se neki događaj dogoditi. Vjerovatnoća složenog događaja je vjerovatnoća događaja koji uključuje više od jednog događaja. Na primjer, vjerovatnoća bacanja parnog broja na kocki i asa iz špila karata su primjeri složenih događaja. Ovaj članak će razmotriti nekoliko primjera problema i raspravljati o vjerovatnoći složenih događaja.
Osnovni koncept vjerovatnoće složenih događaja
Postoje dvije vrste složenih događaja:
1. Međusobno isključivi događaji: Dva događaja koja se ne mogu dogoditi istovremeno. Na primjer, prilikom bacanja kocke, događaji bacanja 2 i 5 su međusobno isključivi događaji jer je nemoguće baciti oba broja istovremeno.
2. Događaji koji se ne isključuju: Dva događaja koja se mogu dogoditi istovremeno. Na primjer, u izvlačenju igraćih karata, događaji dobijanja karte srca (♥) i karte s brojem 10 su događaji koji se ne isključuju jer postoji karta srca s brojem 10.
Evo nekoliko osnovnih formula koje se koriste za izračunavanje vjerovatnoće složenih događaja:
– P(A ili B) (za događaje koji se ne isključuju): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A ili B) (za međusobno isključive događaje): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A i B) (za nezavisne događaje): \(P(A \cap B) = P(A) \puta P(B)\)
Primjeri pitanja i diskusija
Primjer pitanja 1: Kockice
Pitanje:
Kolika je vjerovatnoća da se na kocki dobije paran broj ili broj veći od 4?
Diskusija:
Prvo, definirajmo događaje:
– Događaj A: Dobijanje parnog broja (2, 4, 6)
– Događaj B: Dobijanje broja većeg od 4 (5, 6)
Zatim određujemo vjerovatnoću svakog događaja:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Budući da postoji broj 6 koji je uključen u oba događaja A i B, potrebno je izračunati \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (jer je samo jedan broj, naime 6, uključen i u A i u B)
Korištenjem formule za događaje koji se ne isključuju međusobno:
P(A = B) = P(A) + P(B) – P(A = B) = 1/2 + 1/3 – 1/6
Izjednačimo nazivnike ovih razlomaka:
P(A + B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3
Dakle, vjerovatnoća dobijanja parnog broja ili broja većeg od 4 je \(\frac{2}{3}\).
Primjer pitanja 2: Igranje karata
Pitanje:
Kolika je vjerovatnoća da se iz špila karata dobije as ili pik?
Diskusija:
Prvo, definirajmo događaje:
– Događaj A: Dobijanje asa (ukupno 4, po jedan za svaku boju)
– Događaj B: Dobivanje pik karte (ukupno 13)
Zatim određujemo vjerovatnoću svakog događaja:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Pošto je as pik uključen u oba događaja A i B, potrebno je izračunati \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Korištenjem formule za događaje koji se ne isključuju međusobno:
P(A = B) = P(A) + P(B) – P(A = B) = 1/13 + 1/4 – 1/52
Izjednačimo nazivnike ovih razlomaka:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Dakle, vjerovatnoća dobijanja asa ili pika je \(\frac{4}{13}\).
Primjer problema 3: Lopta u kutiji
Pitanje:
U kutiji se nalaze 3 crvene kuglice, 4 plave kuglice i 5 zelenih kuglica. Ako se jedna kuglica izvuče nasumično, koja je vjerovatnoća da će se dobiti crvena ili zelena kuglica?
Diskusija:
Prvo, definirajmo događaje:
– Događaj A: Dobijanje crvene lopte (broj 3)
– Događaj B: Dobijanje zelene lopte (broj 5)
Zatim određujemo vjerovatnoću svakog događaja:
– Ukupan broj loptica = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Budući da nijedna loptica ne može biti istovremeno i crvena i zelena, ovi događaji se međusobno isključuju:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/4 + 5/12
Izjednačimo nazivnike ovih razlomaka:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Dakle, vjerovatnoća dobijanja crvene ili zelene kuglice je \(\frac{2}{3}\).
Primjer pitanja 4: Dva novčića
Pitanje:
Ako se dva novčića bace istovremeno, koja je vjerovatnoća da će se pojaviti barem jedna glava?
Diskusija:
Definišemo Događaj A: doživljavanje barem jedne slike.
Postoje četiri moguća ishoda bacanja dva novčića:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Događaji koji sadrže barem jednu sliku su:
– HT
– TH
– TT
Izračunajmo vjerovatnoću svakog od njih:
– Broj mogućih događaja (ukupno): 4
– Broj događaja koji sadrže barem jednu sliku: 3
\[
P(A) = \frac{Broj događaja sa najmanje jednom glavom}{Ukupan broj događaja} = \frac{3}{4}
\]
Dakle, vjerovatnoća pojavljivanja barem jedne slike je \(\frac{3}{4}\).
Zaključak
Rasprava o gore navedenim problemima pokazuje kako možemo izračunati vjerovatnoću složenog događaja, bilo da se radi o međusobno isključivim ili ne. Razumijevanjem osnovnih koncepata i korištenjem ispravnih formula možemo odrediti vjerovatnoću određenih kombinacija događaja koji se javljaju u različitim svakodnevnim situacijama. Nastavite vježbati svoje vještine s različitim problemima kako biste postali vještiji u određivanju vjerovatnoće složenih događaja.
