Primjeri pitanja o kružnicama i tangentama
Krugovi su važna tema u matričnoj geometriji, gdje se demonstriraju duboki koncepti o udaljenosti, uglovima i oblicima. Jedan koncept koji se često spominje u ovoj temi je tangenta kruga. U ovom članku ćemo razmotriti nekoliko primjera problema koji uključuju krugove i tangente.
Osnovno razumijevanje krugova i tangenti
Lingkaran
Krug je geometrijski oblik formiran skupom svih tačaka u ravni koje su na fiksnoj udaljenosti od date tačke koja se naziva centar kruga. Ova fiksna udaljenost naziva se poluprečnik kruga.
Tangenta
Tangenta na krug je linija koja dodiruje krug u tačno jednoj tački. Ova tačka se naziva tačka tangencije. Tangente imaju nekoliko važnih svojstava, uključujući:
– Tangenta je uvijek okomita na poluprečnik kruga u tački dodira.
– Dužina tangente od tačke izvan kruga do kruga je ista ako su iz te tačke povučene dvije tangente.
Primjeri pitanja i diskusija
U nastavku ćemo predstaviti nekoliko primjera pitanja koja detaljno razmatraju koncept krugova i tangenti.
Primjer pitanja 1: Određivanje dužine tangente
Pitanje:
Dat je krug sa centrom \(O\) i poluprečnikom \(r = 6 \, \text{cm}\). Iz tačke \(P\) izvan kruga, koja je udaljena 10 cm od centra kruga, povučene su dvije tangente \(PA\) i \(PB\) na krug. Izračunajte dužinu tangente \(PA\).
Diskusija:
U ovom zadatku možemo koristiti Pitagorin teorem. Nacrtajte trougao \(\trougao OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (udaljenost od vanjske tačke do centra kruga)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (poluprečnik kruga)
– \(PA\) je tangenta koja se mora pronaći
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Dakle, dužina tangente \(PA\) je 8 cm.
Primjer pitanja 2: Pronalaženje tačke dodira
Pitanje:
Dat je krug sa jednačinom \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) i prava \(y = 2x + 1\). Odredite tačku dodira između kruga i prave.
Diskusija:
Prvo, određujemo centar i poluprečnik kruga:
– Centar \(O(3, 4)\)
– Poluprečnik \(r = \sqrt{25} = 5\)
Da bismo pronašli tačku tangencije, pretpostavimo da je tačka tangencije \(T(x_1, y_1)\) koja također leži na pravoj \(y = 2x + 1\). Tada:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) također mora zadovoljiti jednačinu kruga:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Zamijenite \(y_1 = 2x_1 + 1\) u jednačinu kruga:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Moramo izračunati dva kvadrata.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Spojite oba rezultata:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Oduzmite 25 od obje strane:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Riješite kvadratnu jednačinu:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \puta 5 \puta 7}}{2 \puta 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{4 \puta 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
Izračunajte vrijednost \(y_1\):
Što zadovoljava y = 2x + 1:
– Ako je \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), tada je \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Ako je \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), tada je \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Evaluacija:
Dakle dobijamo dvije tačke presjeka jednačine kruga sa tom linijom.
Primjer pitanja 3: Određivanje jednačine tangente
Pitanje:
Dat je krug sa jednačinom \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Odredite jednačinu tangente na krug koja prolazi kroz tačku \((6, 7)\).
Diskusija:
Tangenta na krug sa centrom \((h, k)\) i poluprečnikom \(r\) iz poznate vanjske tačke može se naći jednačinom:
Tangenta prolazi kroz vanjsku tačku \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Zamijenite vanjsku tačku \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Jednačina tangente je:
\[
x + y = 9
\]
Dakle, varijacija jednačine prave kroz tačku kružnice je veoma velika i može se mijenjati u zavisnosti od rezultata ili vizuelnog prikaza.
Zaključak
Rasprava o krugovima i tangentama pokriva nekoliko fundamentalnih aspekata matematike, od primjene osnovnih formula poput Pitagorinog teorema do rješavanja kvadratnih jednačina. Kroz ove primjere možemo razviti bolje razumijevanje kako primijeniti ove koncepte u donekle složenim situacijama. Nadamo se da je ovaj članak pomogao da se pruži jasna slika o tome kako pristupiti i riješiti probleme koji uključuju krugove i tangente.
