Primjeri pitanja o položaju tačke u odnosu na krug
Određivanje položaja tačke u odnosu na krug je važna tema u osnovnoj geometriji, posebno u proučavanju krugova. U ovom članku ćemo razmotriti nekoliko primjera problema koji uključuju položaj tačke u odnosu na krug, zajedno s njihovim objašnjenjima. Ovo će pomoći u razjašnjavanju koncepta kroz praktične primjene.
Pendahuluan
Prije nego što se upustimo u primjere pitanja, prisjetimo se tri moguća položaja tačke na krugu:
1. Unutar kruga: Ako je udaljenost tačke od centra kruga manja od poluprečnika kruga.
2. Izvan kruga: Ako je udaljenost tačke od centra kruga veća od poluprečnika kruga.
3. Na krugu: Ako je udaljenost od tačke do centra kruga ista kao i poluprečnik kruga.
Matematički, položaj tačke \(T(x_1, y_1)\) u odnosu na krug sa centrom u \((a, b)\) i radijusom \(r\) može se odrediti poređenjem \(T(x_1, y_1)\) sa jednačinom kruga, naime:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Ako rezultat zamjene \(x_1\) i \(y_1\) u jednačini daje vrijednost:
– Manja od \(r^2\), tačka je unutar kruga.
– Veće od \(r^2\), tačka je izvan kruga.
– Isto kao i \(r^2\), tačka je na krugu.
Primjeri pitanja i diskusija
Pitanje 1
Odredite položaj tačke \(T(3, 4)\) u odnosu na krug pomoću jednačine \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \).
Diskusija:
Prvi korak je izračunati jednačinu kruga i pronaći udaljenost od tačke \(T(3, 4)\) do centra kruga \((1, 2)\).
1. Odredite centar i poluprečnik kruga:
Jednačina kruga: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Centar kruga (\(a, b\)): (1, 2)
– Poluprečnik kruga (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. Izračunajte udaljenost između tačke \(T(3, 4)\) i centra kruga \( (1, 2) \):
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
Vrijednost \(2\sqrt{2} \približno 2 \puta 1.414 = 2.828 \) (manje od \(5\)).
3. Zaključak:
Pošto je \( 2\sqrt{2} < 5 \), onda je tačka \( T(3, 4) \) unutar kruga. Pitanje 2: Krug ima centar u tački \( (0, 0) \) i poluprečnik od 7. Odredite položaj tačke \(P(5, 6) \) u odnosu na krug. Diskusija: 1. Jednačina kruga: Jednačina kruga sa centrom u (0, 0) i poluprečnikom 7 je: \[ x^2 + y^2 = 49 \] 2. Izračunavanje udaljenosti od tačke \( P(5, 6) \) do centra kruga \( (0, 0): \[ D = \sqrt{(5 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \] Vrijednost \( \sqrt{61} \približno 7.81 \). 3. Zaključak: Pošto je \( \sqrt{61} > 7 \), onda je tačka \( P(5, 6) \) izvan kruga.
Pitanje 3
Odredite položaj tačke \(M(2, -1)\) u odnosu na krug pomoću jednačine \(x^2 + y^2 = 5 \).
Diskusija:
1. Izračunajte udaljenost od tačke \(M(2, -1)\) do centra kruga \( (0, 0) :
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. Uporedite udaljenost \(D\) sa poluprečnikom kruga:
Poluprečnik kruga (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. Zaključak:
Pošto je \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), onda se tačka \( M(2, -1) \) nalazi na kružnici.
Pitanje 4
Krug sa centrom u tački (4, 3) ima poluprečnik (10). Prikažite položaj tačke (N(7, 7)) u odnosu na ovaj krug.
Diskusija:
1. Jednačina kruga:
Jednačina kruga sa centrom \( (4, 3) \) i poluprečnikom \( \sqrt{10} \) je:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. Izračunajte udaljenost od tačke \( N(7, 7) \) do centra kruga \( (4, 3) \):
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Zaključak:
Pošto je \( 5 > \sqrt{10} \), onda je tačka \( N(7, 7) \) izvan kruga.
Zatvaranje
Razumijevanjem načina izračunavanja udaljenosti tačke od centra kruga i upoređivanjem iste s radijusom, možemo lako odrediti položaj tačke u odnosu na krug. Očekuje se da će rasprava u ovom članku pružiti jasno razumijevanje koncepta i načina rješavanja problema koji uključuju položaj tačke u odnosu na krug.
U praksi, poznavanje položaja ovih tačaka je izuzetno korisno u raznim matematičkim primjenama, uključujući geometrijsku analizu, grafički dizajn i inženjerstvo. Stoga je savladavanje ovog koncepta važna osnova koja zaslužuje pažljivu pažnju i dubinsko razumijevanje.
