Primjeri pitanja o binomnoj funkciji distribucije
Binomna distribucija je diskretna distribucija vjerovatnoće koja opisuje broj uspjeha u eksperimentu koji se sastoji od određenog broja nezavisnih pokušaja s dva moguća ishoda: uspjehom i neuspjehom. Svaki pokušaj se naziva pokušaj, a binomna distribucija se često koristi u situacijama kada je broj uspjeha u određenom broju nezavisnih pokušaja od interesa. U ovom članku ćemo razmotriti osnovne koncepte binomne distribucije i dati primjere i rješenja.
Osnovni koncepti binomne funkcije distribucije
Prije nego što pređemo na primjerna pitanja i diskusiju, razgovarajmo o nekim osnovnim konceptima vezanim za binomnu distribuciju.
1. Definicija: Binomna distribucija se definiše kao zbir uspjeha u 'n' nezavisnih pokušaja, gdje svaki pokušaj ima dva moguća ishoda: uspjeh (sa vjerovatnoćom p) ili neuspjeh (sa vjerovatnoćom q = 1 – p).
2. Funkcija vjerovatnoće: Funkcija vjerovatnoće binomne distribucije je:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Gdje:
– \( P(X = k) \) je vjerovatnoća da će k uspjeha biti uspješno u n pokušaja.
– \( \binom{n}{k} \) je kombinacija n i k, koja je definirana kao \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) je vjerovatnoća uspjeha u svakom pokušaju.
– \( (1-p) \) je vjerovatnoća neuspjeha u svakom pokušaju.
3. Očekivana vrijednost i varijanca:
– Očekivana vrijednost (srednja vrijednost) binomne distribucije je \( \mu = np \).
– Varijanca binomne distribucije je \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Sada, primijenimo ove koncepte na primjeru problema kako bismo pružili dublje razumijevanje.
Primjer pitanja 1: Osnovni izračuni binomne distribucije
Pitanje:
Kompanija proizvodi elektronske komponente sa vjerovatnoćom od 0.95 da svaka komponenta prođe test kvaliteta. Ako se proizvede 10 komponenti, izračunajte vjerovatnoću da tačno 8 komponenti prođe test kvaliteta.
Diskusija:
Možemo koristiti formulu binomne distribucije za rješavanje ovog problema. Prvo, identificiramo sljedeće parametre:
– \( n \) (ukupan broj pokušaja) = 10
– \( k \) (broj uspjeha) = 8
– \( p \) (vjerovatnoća uspjeha) = 0.95
– \( q \) (vjerovatnoća kvara) = 1 – 0.95 = 0.05
Zatim zamijenite ove vrijednosti u formulu binomne distribucije:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Prvo, izračunajte kombinaciju \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \puta 9 \puta 8!}{8! \puta 2!} = \frac{10 \puta 9}{2 \puta 1} = 45
\]
Zatim, izračunajte vjerovatnoće \( (0.95)^8 \) i \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \približno 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Na kraju, pomnožite sve te vrijednosti da biste dobili:
\[
P(X = 8) = 45 puta 0.6634 puta 0.0025 \približno 0.0744
\]
Dakle, vjerovatnoća da tačno 8 od 10 komponenti prođe test kvaliteta je oko 0.0744 ili 7.44%.
Primjer pitanja 2: Kumulativna vjerovatnoća
Pitanje:
I dalje sa istom kompanijom, izračunajte vjerovatnoću da najmanje 9 od 10 komponenti prođe test kvaliteta.
Diskusija:
Da bismo riješili ovaj problem, potrebno je izračunati kumulativnu vjerovatnoću. Vjerovatnoća da barem 9 od 10 komponenti prođe test znači da izračunavamo \( P(X \geq 9) \), što se može napisati kao:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Korištenje formule binomne distribucije:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Prvo, izračunajte kombinaciju za svaki slučaj:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Zatim, izračunajte vjerovatnoće za \( P(X = 9) \) i \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 puta (0.95)^9 puta 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \približno 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 puta 0.6302 puta 0.05 \približno 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 puta (0.95)^{10} puta 1
\]
\[
(0.95)^{10} \približno 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Ukupna vjerovatnoća za \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X √(9)) = 0.3151 + 0.5987 = približno 0.9138
\]
Dakle, vjerovatnoća da barem 9 od 10 komponenti prođe test kvaliteta iznosi oko 0.9138 ili 91.38%.
Primjer pitanja 3: Očekivana vrijednost i varijanca
Pitanje:
Izračunajte očekivanu vrijednost i varijansu broja komponenti koje prolaze test kvaliteta od 10 proizvedenih komponenti, sa vjerovatnoćom prolaznosti od 0.95.
Diskusija:
Koristite sljedeću formulu:
– Očekivana vrijednost (srednja vrijednost) \( \mu = np \)
– Varijanca (sigma^2 = np(1-p))
Sa \(n = 10 \) i \(p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \puta 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 x 0.95 x 0.05 = 0.475
\]
Dakle, očekivana vrijednost broja komponenti koje prolaze test kvalitete je 9.5, a varijanca je 0.475.
Zaključak
Kroz tri gore navedena primjera problema, razgovarali smo o tome kako izračunati vjerovatnoću korištenjem binomne distribucije za različite situacije: izračunavanje tačne vjerovatnoće, kumulativne vjerovatnoće i izračunavanje očekivane vrijednosti i varijanse. Poznavanje binomne distribucije korisno je u raznim oblastima, kao što su proizvodnja, medicinska istraživanja i društvena statistika, gdje se rezultati ponovljenih eksperimenata sa dva moguća ishoda mogu analizirati kako bi se pomoglo u donošenju odluka. Nadamo se da će vam dati primjeri problema i diskusije pomoći da bolje razumijete binomnu distribuciju.
