Primjeri pitanja i diskusija o distribuciji vjerovatnoće
Raspodjela vjerovatnoće je jedan od osnovnih koncepata u statistici i vjerovatnoći. Koristi se za razumijevanje vjerovatnoće pojave različitih vrijednosti slučajnog broja. Raspodjela vjerovatnoće može imati mnogo oblika ovisno o prirodi podataka koji se analiziraju. Dva najčešća tipa raspodjela vjerovatnoće su diskretna i kontinuirana. U ovom članku ćemo pregledati nekoliko primjera problema i raspravljati o raspodjeli vjerovatnoće kako bismo bolje razumjeli ovu temu.
Diskretna distribucija
Diskretna distribucija je distribucija koja izračunava vjerovatnoću diskretne slučajne varijable, odnosno varijable koja može poprimiti samo određene vrijednosti. Poznati primjeri diskretnih distribucija su binomna distribucija i Poissonova distribucija.
Primjer 1: Binomna distribucija
Binomna distribucija opisuje broj uspjeha u nizu Bernoullijevih pokušaja. Svaki Bernoullijev pokušaj ima dva ishoda: uspjeh ili neuspjeh. Vjerovatnoća uspjeha ostaje konstantna tokom cijelog pokušaja.
Pitanje:
Farmaceutska kompanija testira novi lijek na 10 pacijenata. Vjerovatnoća da lijek djeluje kod bilo kojeg pacijenta je 0.7. Izračunajte vjerovatnoću da lijek djeluje kod tačno 7 od 10 pacijenata.
Diskusija:
Slučajna varijabla \(X\) prati binomnu distribuciju sa \(n = 10\) i \(p = 0.7\). Binomna funkcija vjerovatnoće je:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Za \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Izračunavanje binomnog koeficijenta \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Izračunavanje vrijednosti vjerovatnoće:
\[ P(X = 7) = 120 \puta (0.7)^7 \puta (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \približno 120 \puta 0.0823543 \puta 0.027 \]
\[ P(X = 7) \približno 0.231 \]
Dakle, vjerovatnoća da lijek djeluje kod tačno 7 od 10 pacijenata iznosi oko 0.231 ili 23.1%.
Primjer 2: Poissonova distribucija
Poissonova distribucija se koristi za modeliranje broja pojavljivanja rijetkog događaja unutar datog vremenskog ili prostornog intervala.
Pitanje:
Prodavnica u prosjeku ima 4 mušterije na sat. Kolika je vjerovatnoća da će prodavnica dobiti tačno 5 mušterija u jednom satu?
Diskusija:
Slučajna varijabla \(X\) prati Poissonovu distribuciju s parametrom \(\lambda = 4\). Poissonova funkcija mase vjerovatnoće je:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Za \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Broj:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \približno \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \približno 0.156 \]
Dakle, vjerovatnoća da prodavnica primi tačno 5 kupaca u jednom satu iznosi oko 0.156, ili 15.6%.
Kontinuirana distribucija
Kontinuirane distribucije se koriste kada slučajna varijabla koja se mjeri može poprimiti bilo koju vrijednost unutar određenog raspona. Poznati primjeri kontinuiranih distribucija su normalna distribucija i eksponencijalna distribucija.
Primjer 3: Normalna distribucija
Normalna distribucija, često nazivana Gaussova distribucija, je distribucija koja se često koristi u raznim oblastima, uključujući nauku, inženjerstvo i ekonomiju.
Pitanje:
Visina odraslih muškaraca u gradu je normalno raspoređena sa srednjom vrijednošću od 170 cm i standardnom devijacijom od 10 cm. Kolika je vjerovatnoća da je nasumično odabran muškarac visok između 160 cm i 180 cm?
Diskusija:
Potrebno je izračunati z-vrijednost za 160 cm i 180 cm. Z-vrijednost se definira kao:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Za \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Za \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Sada trebamo pogledati vrijednosti vjerovatnoće od -1 do 1 u z tabeli. Vrijednost od z = -1 do z = 1 je približno 0.6826.
Dakle, vjerovatnoća da je nasumično odabrani muškarac visok između 160 cm i 180 cm iznosi približno 0.6826 ili 68.26%.
Primjer 4: Eksponencijalna distribucija
Eksponencijalna distribucija se koristi za modeliranje vremena između događaja u Poissonovom procesu.
Pitanje:
Prosječno vrijeme između dolaska dva kupca u prodavnicu je 15 minuta. Kolika je vjerovatnoća da je vrijeme između dolaska dva kupca kraće od 10 minuta?
Diskusija:
Eksponencijalna distribucija ima parametar \(\lambda\) koji je inverz srednje vrijednosti (\(\mu\)). Sa srednjom vrijednošću od 15 minuta:
\[ λ = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Eksponencijalna kumulativna funkcija distribucije je:
P(X ≤ x) = 1 – e^{- λ x}
Za \(x = 10\):
P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 puta 10}
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X ≤ 10) \približno 1 – 0.5134 \]
\[ P(X ≤ 10) \približno 0.4866 \]
Dakle, vjerovatnoća da je vrijeme između dolaska dva kupca kraće od 10 minuta iznosi oko 0.4866 ili 48.66%.
Zaključak
Distribucije vjerovatnoće, i diskretne i kontinuirane, vrlo su korisni koncepti za modeliranje i razumijevanje ponašanja slučajnih varijabli. Binomna i Poissonova distribucija se često koriste za diskretne varijable, dok su normalna i eksponencijalna distribucija primjeri kontinuiranih distribucija.
Nadamo se da ste kroz gore navedene primjere stekli bolje razumijevanje kako izračunati i interpretirati vjerovatnoće u distribucijama vjerovatnoće. Uz dosljednu praksu, vaša sposobnost razumijevanja distribucija vjerovatnoće će se poboljšati i moći će se primijeniti u različitim disciplinama.
