Materijal za množenje tačaka korištenjem komponenti jediničnog vektora
Skalarni proizvod možemo direktno izračunati ako znamo x, y i z komponente vektora A i B (poznati vektori).
Da bismo izračunali skalarni proizvod na ovaj način, prvo izračunavamo skalarni proizvod jediničnih vektora, nakon toga izražavamo vektore A i B u njihovim komponentama, dekomponujemo proizvod i koristimo proizvod jediničnih vektora.
Jedinični vektori i , j i k su međusobno okomiti, što olakšava izračunavanje. Koristeći gore izvedenu skalarnu jednačinu množenja ( AB = AB cos theta ) dobijamo:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Sada izražavamo vektore A i B preko njihovih komponenti, dekomponujemo njihov proizvod i koristimo proizvod jediničnih vektora.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Zato i . i = j . j = k . k = 1 i i . j = i . k = j . k = 0, tada:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Na osnovu rezultata ovog proračuna, može se zaključiti da je skalarni proizvod ili tačkasti proizvod dva vektora zbir proizvoda njihovih sličnih komponenti.
Primjer pitanja 1:
Veliki vektor A dan B su 5 i 4, respektivno, kao što je prikazano na slici ispod. Ugao koji formiraju je 90oPrebroji to skalarni proizvod oba vektora.
Diskusija
Prije nego što izračunamo skalarni proizvod vektora A i B, prvo moramo znati komponente drugog vektora.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektor A ima samo vektorske komponente na x-osi, a vektor B ima samo vektorske komponente na y-osi. Z-komponenta je nula jer su vektori A i B u xy ravni.
Sada izračunavamo skalarni proizvod između vektora A i B koristeći jednačinu skalarnog proizvoda sa komponentnim vektorima:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Uporedimo to sa prvom metodom
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Rezultat je isti.
Primjer pitanja 2:
Veliki vektor A dan B su 5 i 4 respektivno, kao što je prikazano na slici ispod. Izračunajte skalarni proizvod oba vektora, ako je ugao koji formiraju 30o
Diskusija
Prije nego što izračunamo skalarni proizvod vektora A i B, prvo moramo znati komponente drugog vektora.
Z-komponenta je nula jer se vektori A i B nalaze u xy ravni.
Sada izračunavamo skalarni proizvod između vektora A i B koristeći jednačinu skalarnog proizvoda sa komponentnim vektorima:
Uporedite s prvom metodom.
