বার্নুলির সূত্র

বার্নুলির সূত্র: মূলনীতি ও প্রয়োগ

বার্নুলির নীতি হলো তরল বলবিদ্যার একটি মৌলিক ধারণা, যা অষ্টাদশ শতাব্দীতে সুইস বিজ্ঞানী ড্যানিয়েল বার্নুলি আবিষ্কার করেন। এই নীতিটি কোনো তরল প্রবাহের বেগ এবং সেই প্রবাহের ভেতরের চাপের মধ্যকার সম্পর্ক ব্যাখ্যা করে। এই প্রবন্ধে বার্নুলির সূত্র, এর মৌলিক ধারণা, গাণিতিক প্রতিপাদন, গণনার উদাহরণ এবং দৈনন্দিন জীবনে এর প্রয়োগ নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে।

বার্নোলির সূত্র বোঝা

বার্নুলির সূত্রানুসারে, আদর্শ তরল প্রবাহে (ঘর্ষণহীন), প্রতি একক আয়তনে যান্ত্রিক শক্তির (বিভব শক্তি, গতিশক্তি এবং চাপ) পরিমাণ প্রবাহপথ জুড়ে ধ্রুবক থাকে। এই সূত্রটি হলো:

\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{ধ্রুবক} \]

কোথায়:
– \( P \) হলো তরলের চাপ (প্যাসকেল, Pa এককে),
– \( \rho \) হলো তরলের ঘনত্ব (কিলোগ্রাম প্রতি ঘনমিটারে, kg/m³),
– \( v \) হলো তরল প্রবাহের বেগ (মিটার প্রতি সেকেন্ড, m/s এককে),
– \( g \) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ (মিটার প্রতি সেকেন্ড স্কয়ার, m/s² এককে),
– \( h \) হলো নির্দেশক বিন্দুর উপরে তরলের উচ্চতা (মিটারে, m)।

বার্নুলির নীতি

বার্নুলির নীতি শক্তির সংরক্ষণ নীতির উপর ভিত্তি করে গঠিত। তরল প্রবাহের ক্ষেত্রে, কোনো সিস্টেমে শক্তি যোগ করা বা অপসারণ করা না হলে, সিস্টেমের মোট শক্তি অবশ্যই স্থির থাকে। প্রতি একক আয়তনের মোট শক্তি নিম্নলিখিত উপাদানগুলো নিয়ে গঠিত:
১. চাপ শক্তি (\( P \)): তরল চাপের কারণে সৃষ্ট শক্তি।
২. গতিশক্তি (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): তরল গতির কারণে সৃষ্ট শক্তি।
৩. মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (\( \rho gh \)): মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে কোনো তরলের অবস্থানের কারণে সৃষ্ট শক্তি।

বার্নুলির সূত্রের গাণিতিক প্রতিপাদন

বার্নুলির সূত্রের প্রতিপাদন বোঝার জন্য, আমরা একটি প্রবাহে \( v \) বেগে বিন্দু ১ থেকে বিন্দু ২-তে গতিশীল একটি ক্ষুদ্র তরল কণা বিবেচনা করি। যদি আমরা ধরে নিই যে ঘর্ষণ বা তাপের কারণে কোনো শক্তি ক্ষয় হয় না, তবে বিন্দু ১ এবং ২-তে মোট শক্তি অবশ্যই একই হবে।

বিন্দু ২-এ মোট শক্তি (\( E_1 \)) হলো:

\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]

বিন্দু ২-এ মোট শক্তি (\( E_2 \)) হলো:

\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]

যেহেতু মোট শক্তি অবশ্যই ধ্রুবক হতে হবে:

\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]

একেই বার্নুলির সূত্র বলা হয়।

বার্নুলির সূত্র ব্যবহার করে গণনার উদাহরণ

মনে করুন, একটি অনুভূমিক পাইপের মধ্য দিয়ে A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে পানি প্রবাহিত হচ্ছে। A বিন্দুতে পানির বেগ ২ মি/সে এবং চাপ ১৫০,০০০ প্যাসকেল। B বিন্দুতে পানির বেগ ৪ মি/সে। পানির ঘনত্ব ১০০০ কেজি/মি³। B বিন্দুতে চাপ নির্ণয় করুন।

বার্নুলির সূত্র ব্যবহার করুন:

\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]

যেহেতু পাইপটি অনুভূমিক, \( h_A = h_B \), তাই উভয় বিন্দুতেই \( \rho gh \) উপেক্ষা করা যেতে পারে:

\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]

জ্ঞাত মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]

উভয় বিন্দুতে গতিশক্তি গণনা করুন:

\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]

\[ 152,000 = P_B + 8000 \]

\[ P_B = 152,000 – 8000 \]

\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]

সুতরাং, B বিন্দুতে চাপ হলো 144,000 Pa।

বার্নুলির নীতির প্রয়োগ

১. উড়োজাহাজ: উড়োজাহাজের ডানার নকশায় বার্নুলির নীতি ব্যবহার করা হয়। উড়োজাহাজের ডানার আকৃতি এমনভাবে তৈরি করা হয় যাতে ডানার উপরের অংশের বায়ুর গতিবেগ নীচের অংশের চেয়ে বেশি হয়। এর ফলে ডানার উপরে চাপ কম এবং নীচে চাপ বেশি হয়, যা উড়োজাহাজকে উড়তে সাহায্যকারী উত্তোলন শক্তি (লিফট) সৃষ্টি করে।

২. রেসিং যানবাহন: রেসিং যানবাহনের অ্যারোডাইনামিক ডিজাইনে গতি এবং স্থিতিশীলতা বাড়ানোর জন্য বার্নুলির নীতি ব্যবহার করা হয়। বায়ুপ্রবাহ নিয়ন্ত্রণ করতে স্পয়লার এবং ডিফিউজার ব্যবহার করা হয়, যা ডাউনফোর্স বাড়ায় এবং এর ফলে রাস্তায় গাড়ির ট্র্যাকশন উন্নত হয়।

৩. দেহে রক্ত ​​প্রবাহ: বার্নুলির নীতি রক্তনালীর মধ্য দিয়ে রক্ত ​​প্রবাহের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। দেহের বিভিন্ন অংশে রক্ত ​​প্রবাহের গতি এবং চাপের পার্থক্য পর্যবেক্ষণ করে বিভিন্ন রোগ নির্ণয় করা যায়।

৪. ভেনচুরি মিটার: নলের মধ্যে দিয়ে তরলের প্রবাহের হার পরিমাপ করতে ব্যবহৃত একটি যন্ত্র। ভেনচুরি মিটারের একটি সরু অংশ থাকে, যা বার্নুলির নীতি অনুসারে তরল প্রবাহের বেগ বৃদ্ধি করে এবং চাপ হ্রাস করে। এর প্রশস্ত ও সরু অংশের মধ্যকার চাপের পার্থক্য ব্যবহার করে প্রবাহের হার গণনা করা হয়।

৫. পারফিউম স্প্রেয়ার: পারফিউম স্প্রেয়ার বা লিকুইড স্প্রেয়ার বার্নুলির নীতি ব্যবহার করে। যখন একটি সরু নলের মধ্যে দিয়ে বাতাস প্রবাহিত করা হয়, তখন নলের মুখের চারপাশের বায়ুচাপ কমে যায়, যা পারফিউমের তরলকে নলের মধ্য দিয়ে উপরের দিকে টেনে নেয় এবং এটিকে একটি সূক্ষ্ম কুয়াশার মতো স্প্রে করে।

বার্নুলির নীতি প্রয়োগকে প্রভাবিতকারী উপাদানসমূহ

১. ঘর্ষণ: বাস্তবে, তরল পদার্থ আদর্শ নয় এবং এতে সর্বদা অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণ (সান্দ্রতা) থাকে, যার ফলে শক্তির ক্ষয় হয়। এটি বার্নুলির নীতির প্রয়োগকে আরও জটিল করে তোলে।

২. তরলের সংকোচনশীলতা: বার্নুলির নীতি অসংকোচনশীল তরলের (যেমন পানি) ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা সহজ। গ্যাস বা সংকোচনশীল তরলের জন্য সমীকরণটি সামঞ্জস্য করতে হয়।

৩. অশান্তি: বার্নুলির নীতি স্তরিত (নিয়মিত) প্রবাহের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। অশান্ত (অনিয়মিত) প্রবাহের ক্ষেত্রে বিশ্লেষণটি আরও জটিল হয়ে ওঠে।

কেস স্টাডি: বিমানের ডানার নকশায় বার্নুলির নীতির প্রয়োগ

উড়োজাহাজের ডানার নকশা হলো বার্নুলির নীতির একটি উৎকৃষ্ট উদাহরণ। ডানার উপরের অংশ বাঁকানো এবং নিচের অংশ সমতল হওয়ায় এর নিচ দিয়ে বাতাসের চেয়ে ওপর দিয়ে বাতাস দ্রুত প্রবাহিত হয়। বার্নুলির নীতি অনুসারে, ডানার ওপর দিয়ে বাতাসের উচ্চ বেগের কারণে এর নিচের চাপের চেয়ে কম চাপ সৃষ্টি হয়। চাপের এই পার্থক্যই উত্তোলন বল তৈরি করে, যা উড়োজাহাজকে উড়তে সাহায্য করে।

ধরা যাক, একটি উড়োজাহাজের ডানার ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গমিটার। ডানার উপরে বাতাসের গতিবেগ ৭০ মিটার/সেকেন্ড এবং নিচে ৫০ মিটার/সেকেন্ড। বায়ুর ঘনত্ব ১,২২৫ কেজি/ঘনমিটার। এর ফলে সৃষ্ট উত্তোলন বল গণনা করুন।

১. বার্নুলির সূত্র ব্যবহার করে চাপের পার্থক্য (\( \Delta P \)) নির্ণয় করো:

\[ P_{bottom} – P_{top} = \frac{1}{2} \rho (v_{top}^2 – v_{bottom}^2) \]

জ্ঞাত মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]

\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]

\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]

\[ \Delta P = 1.225 \times 1200 \]

\[ \Delta P = 1470 \, \text{Pa} \]

২. উত্তোলন বল (\( F_{lift} \)) নির্ণয় করুন:

\[ F_{lift} = \Delta P \times A \]

\[ F_{lift} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]

\[ F_{lift} = 36,750 \, \text{

N} \]

সুতরাং, ফলস্বরূপ উত্তোলন বলের পরিমাণ হলো ৩৬,৭৫০ নিউটন।

উপসংহার

বার্নুলির নীতি তরল বলবিদ্যার অন্যতম ভিত্তি, যা তরল প্রবাহের বেগ এবং চাপের মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করে। বার্নুলির সূত্র বুঝে ও প্রয়োগ করে আমরা বিমান থেকে শুরু করে ফ্লো মিটার পর্যন্ত তরল প্রবাহ-সম্পর্কিত বিভিন্ন সিস্টেম বিশ্লেষণ ও ডিজাইন করতে পারি। যদিও বাস্তবে আমাদের প্রায়শই ঘর্ষণ এবং আলোড়নের মতো বিষয়গুলো বিবেচনা করতে হয়, তবুও তরল গতিবিদ্যা বোঝা এবং কার্যকর প্রকৌশল সমাধান ডিজাইন করার ক্ষেত্রে বার্নুলির নীতি একটি অপরিহার্য হাতিয়ার হিসেবেই রয়ে গেছে।