ধারাবাহিকতার সমীকরণ সম্পর্কিত প্রবন্ধ
কলের মুখ থেকে বেরিয়ে আসা জলের গতির দিকে মনোযোগ দিয়ে ধীরে ধীরে কলটি খোলার চেষ্টা করুন। এবার তুলনা করে দেখুন, কলের মুখ বন্ধ থাকলে বা খোলা থাকলে জলের প্রবাহের হার কোথায় বেশি? এর কারণ কী? এটি বোঝার জন্য, অনুগ্রহ করে অবিচ্ছিন্নতার সমীকরণটি অধ্যয়ন করুন।
প্রবাহরেখা
একটি স্থির প্রবাহে, কোনো একটি বিন্দুতে, ধরা যাক বিন্দু A-তে, প্রতিটি তরল কণার গতিবেগ সর্বদা একই থাকে। বিন্দু B অতিক্রম করার সময় তরল কণাগুলোর বেগ পরিবর্তিত হতে পারে। তবে, বিন্দু B-তে পৌঁছানোর সময়, পেছন থেকে আসা তরল কণাগুলো তার সামনের কণাগুলোর সমান গতিতে প্রবাহিত হয়। একইভাবে বিন্দু C-তে আসার সময়ও একই ঘটনা ঘটে এবং এভাবেই চলতে থাকে। প্রবাহ রেখা হলো একটি বক্ররেখা যা A, B এবং C বিন্দুগুলোকে সংযুক্ত করে।
প্রবাহ নল
আমরা তরল প্রবাহের প্রতিটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে প্রতিটি প্রবাহরেখাকে বর্ণনা করতে পারি। যদি আমরা একটি স্থির তরল প্রবাহ দেখি, তবে কাল্পনিক পৃষ্ঠতলের উপর একটি নির্দিষ্ট কোণ দিয়ে অতিক্রমকারী কিছু প্রবাহরেখা একটি প্রবাহ নল গঠন করে। কোনো তরল কণা একে অপরকে ছেদ করে না, বরং সর্বদা সমান্তরাল থাকে এবং প্রবাহ নলটি একটি পাইপের মতো দেখায় যার আকৃতি একই থাকে। নলের এক প্রান্ত দিয়ে প্রবেশ করা তরল অন্য প্রান্ত দিয়ে বেরিয়ে আসে।
[irp]
খরচ
প্রবাহী বলতে একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে কোনো নির্দিষ্ট প্রস্থচ্ছেদের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত তরলের আয়তনকে বোঝায়। গাণিতিকভাবে, এটি এভাবে বলা যেতে পারে:
নিঃসরণ = তরলের পরিমাণ / সময়কাল
Q = V / t
তোমাদের বোঝানোর সুবিধার্থে আমরা একটি উদাহরণ ব্যবহার করব। যেমন, একটি পাইপের মধ্য দিয়ে তরল প্রবাহিত হয়। পাইপগুলো সাধারণত নলাকার হয় এবং এর একটি নির্দিষ্ট প্রস্থচ্ছেদ থাকে। পাইপটির একটি দৈর্ঘ্যও থাকে।
যখন তরল একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে L দূরত্ব পর্যন্ত প্রবাহিত হয়, তখন পাইপের মধ্যে থাকা তরলের আয়তন হয় V = AL (যেখানে V = তরলের আয়তন, A = প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল এবং L = পাইপের দৈর্ঘ্য)। যেহেতু একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে L দূরত্ব পর্যন্ত প্রবাহিত হতে তরলটির একটি নির্দিষ্ট সময় লাগে, তাই আমরা বলতে পারি যে তরলের পরিমাণ হলো:
যেহেতু v = s / t = L / t —> L = vt, উপরের সমীকরণটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:
সুতরাং, যখন একটি নির্দিষ্ট প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল এবং দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট কোনো নলের মধ্য দিয়ে একটি নির্দিষ্ট সময় ধরে তরল প্রবাহিত হয়, তখন নির্গত তরলের পরিমাণ (Q) প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল (A) এবং তরল প্রবাহের বেগ (v)-এর গুণফলের সমান হয়।
ধারাবাহিকতার সমীকরণ
নিচের চিত্রে দেখানো ভিন্ন ব্যাসের একটি পাইপের মধ্য দিয়ে তরল প্রবাহ পর্যালোচনা করুন।
এই চিত্রে বাম থেকে ডানে তরল প্রবাহ দেখানো হয়েছে (তরলটি বড় ব্যাসের পাইপ থেকে ছোট ব্যাসের পাইপে প্রবাহিত হয়)। ড্যাশযুক্ত রেখাটি সুষম প্রবাহরেখা।
A₁ = বড় ব্যাসের পাইপের প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল, A₂ = ছোট ব্যাসের পাইপের প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল, v₁ = বড় ব্যাসের পাইপে তরল প্রবাহের বেগ, v₂ = ছোট ব্যাসের পাইপে তরল প্রবাহের বেগ, L = তরল দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্ব।
একটি স্থির প্রবাহে, কোনো একটি বিন্দুতে তরল কণার প্রবাহের বেগ, সেই বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অন্যান্য তরল কণার প্রবাহের গতির সমান হয়। তরল প্রবাহ দুটি রেখাকে ছেদও করে না (রেখাগুলো সমান্তরাল থাকে)। সুতরাং, নলের এক প্রান্ত দিয়ে যে পরিমাণ তরল প্রবেশ করে, অপর প্রান্ত দিয়ে যে পরিমাণ তরল বেরিয়ে যায়, তার ভর অবশ্যই তার সমান হতে হবে। যদি একটি নির্দিষ্ট ভর নিয়ে কোনো বড় ব্যাসের নলে তরল প্রবেশ করে, তবে সেই একই ভর নিয়েই তরলটি একটি ছোট ব্যাসের নল দিয়ে বেরিয়ে যাবে।
এখন উপরের পাইপটির চিত্রটি বিবেচনা করুন। বড় ব্যাসের পাইপটি এবং ছোট ব্যাসের পাইপটি পর্যালোচনা করুন।
একটি নির্দিষ্ট সময়কালে, কিছু তরল পাইপের বড় ব্যাসের (A₁ ) অংশ দিয়ে L₁ (L₁ = v₁t ) পর্যন্ত প্রবাহিত হয় । প্রবাহিত তরলের আয়তন হলো V₁ = A₁L₁ = A₁v₁t । একই সময়কালে, অন্য কিছু তরল পাইপের ছোট ব্যাসের (A₂) অংশ দিয়ে L₂ ( L₂ = v₂t ) পর্যন্ত প্রবাহিত হয় । প্রবাহিত তরলের আয়তন হলো V₂ = A₂L₂ = A₂v₂t ।
[irp]
অসংকোচনীয় তরলের ধারাবাহিকতার সমীকরণ
অসংকোচনীয় তরলে, এর প্রতিটি প্রবাহবিন্দুতে ঘনত্ব সর্বদা একই থাকে। A1 (বৃহৎ নলের ব্যাস) প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি নলের মধ্যে দিয়ে একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে প্রবাহিত তরলের ভর হলো:
একইভাবে, A₂ (ছোট পাইপের ব্যাস) প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি পাইপের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে প্রবাহিত তরলের ভর হলো:
একটি অবিচ্ছিন্ন প্রবাহে, প্রবেশকারী তরলের ভর এবং নির্গত তরলের ভর সমান হয়, সুতরাং:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 v 1 = A 2 v 2
সুতরাং, অসংকোচনীয় তরলের ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতার সমীকরণটি হলো :
A 1 v 1 = A 2 v 2 — সমীকরণ ১
A₁ = প্রথম প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A₂ = দ্বিতীয় প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, v₁ = প্রথম অংশে তরল প্রবাহের বেগ, v₂ = দ্বিতীয় অংশে তরল প্রবাহের বেগ, Aᵥ = আয়তন প্রবাহের হার (V/t) = নিঃসরণ।
সমীকরণ ১ থেকে দেখা যায় যে, পাইপ বা প্রবাহ নলের প্রতিটি বিন্দুতে প্রবাহের হার সর্বদা একই থাকে। যখন পাইপের প্রস্থচ্ছেদ কমে যায়, তখন তরল প্রবাহের হার বেড়ে যায়, অপরদিকে যখন পাইপের প্রস্থচ্ছেদ বড় হয়, তখন তরল প্রবাহের হার কমে যায়।
[irp]
যখন কলের মুখের একাংশ বন্ধ থাকে, তখন জলের প্রবাহ খোলা অবস্থার চেয়ে বেশি হয়। এর কারণ হলো, কলের মুখের একাংশ বন্ধ থাকলে এর প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল কমে যায়, ফলে জলের প্রবাহের হার বেড়ে যায়। কিন্তু এটা জানা জরুরি যে, আমাদের কলের মুখের একাংশ বন্ধ থাকুক বা না থাকুক, জলপ্রবাহের প্রতিটি বিন্দুতে তরলের প্রবাহের হার বা নির্গমন সর্বদা একই থাকে। তাহলে তরলের প্রবাহের হারে কী পরিবর্তন হয়?
তাহলে নদীতে জলের প্রবাহের ব্যাপারটা কী? নদীর অগভীর অংশের চেয়ে গভীর অংশের প্রস্থচ্ছেদ বেশি, তাই গভীর নদীতে জলের প্রবাহের হার অগভীর অংশের জলের প্রবাহের গতির চেয়ে কম।
সংকোচনশীল তরলের ধারাবাহিকতার সমীকরণ
সংকুচিত তরলের ক্ষেত্রে, এর ঘনত্ব সবসময় একই থাকে না। অন্য কথায়, সংকুচিত হলে তরলের ঘনত্ব পরিবর্তিত হয়। যদি তরলটি সংকুচিত না হয়, তবে সমীকরণ থেকে এর ঘনত্ব বাদ দেওয়া হয়, তাই এক্ষেত্রে সমীকরণে তরলের ঘনত্ব অন্তর্ভুক্ত করা হয়। পূর্বে প্রতিপাদিত সমীকরণটির সাপেক্ষে, আসুন আমরা সংকুচিত তরলের জন্য সমীকরণটি প্রতিপাদন করি।
প্রবেশ করা তরলের ভর নির্গত তরলের ভরের সমান, সুতরাং :
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
তরল প্রবাহের ব্যবধান একই হওয়ায় এটিকে বাদ দেওয়া যায়। সমীকরণগুলো পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → সমীকরণ 2
এটি সংকুচিত তরলের সমীকরণ। পার্থক্যটি হলো তরলের ঘনত্ব। তরলকে সংকুচিত করা হলে তার ঘনত্ব পরিবর্তিত হয়। বিপরীতভাবে, তরলকে সংকুচিত না করা হলে তার ঘনত্ব সর্বদা একই থাকে, ফলে এটিকে সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া যায়।
উদাহরণ সমস্যা ১:
১০ সেমি ব্যাসের একটি পাইপের মধ্য দিয়ে ২ মি/সে বেগে পানি প্রবাহিত হয়। পানি নির্গমনের পরিমাণ কত?
জ্ঞাত :
পাইপের ব্যাস = ১০ সেমি
পাইপের ব্যাসার্ধ (r) = ৫ সেমি = ০.০৫ মিটার
পানির গতি (v) = 2 মি/সে
ডেবিট আবশ্যক
সমাধান:
প্রশ্ন = একটি v
Q = ( π r 2 ) (2 মি/সে)
Q = (3.14)(0.05 মি) 2 (2 মি/সে)
Q = (3.14)(0.0025 মি² ) (2 মি/সে)
Q = ০.০১৫৭ মি³ / সে
[irp]
উদাহরণ সমস্যা ১:
২০ সেমি ব্যাসের একটি নলকে ১০ সেমি ব্যাসের আরেকটি নলের সাথে সংযুক্ত করা হয়েছে। যদি ২০ সেমি ব্যাসের নলে পানির গতিবেগ ৪ মি/সে হয়, তবে ১০ সেমি ব্যাসের নলে পানির গতিবেগ কত হবে?
জ্ঞাত :
ব্যাস 1 = 20 সেমি (r 1 = 10 সেমি = 0.1 মি)
v 1 = ১৬ মি/সে
ব্যাস 2 = 10 সেমি (r 2 = 5 সেমি = 0.05 মি)
ওয়ান্টেড : ভি ১
উত্তর :
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) ( 4 m/s) = ( π r 22 ) ( v 2 )
(0.1 মি) 2 (4 মি/সে) = (0.05 মি) 2 (v 2 )
(0.01 মি² ) (4 মি/সে) = (0.0025 মি² ) ( v² )
(0.04 মি³ / সে) = (0.0025 মি² ) ( v² )
v 2 = ১৬ মি/সে
[irp]
